优化理论复习——（四）

无约束优化专题，主要使用了序列无约束极小化方法

无约束优化问题相关解法

最优性条件

互补松弛条件
对于一般约束优化问题：

整理一下就是著名的kkt条件：

这里只需要注意一点，那就是互补松弛条件只对不等式约束有限制。
然后是二阶必要条件：

也就是lagrange函数半正定
二阶充分条件则是满足一阶必要条件和正定：

跟约束优化问题的条件比较像。既然这么像，那么对于凸规划问题其实也就是一样的了：

即满足kkt条件即可（充要条件），全局最优解。
所以就可以利用kkt条件来求解约束优化问题了。然后就是以下的一些序列无约束优化方法：

外罚函数法

之前说过这些约束优化的方法都是序列无约束优化sumt，主要是把他给转化为无约束的优化来解决这类问题，外罚函数法就是从可行域外面逼近最优解：
这里定义的罚函数是：




要使用上面的方法就需要一定的定理：

所以外罚函数的算法就是：

内罚函数法

思想：

我们构造的函数就变为了：

问题就变为了：

乘子法

最后是乘子法，基本上也差不多，但是构造的变成了增广lagrange了：

第一种用于等式约束的：


新的罚函数M如上所示，这里面更新乘子为：

用这种方法其实叫做PH法。
然后是不等式约束的：

但是还需要化简，最终的结果是：

校正公式也不一样：

所以一般优化方法就是把上述两种增广lagrange函数合起来：


这个方法则为PHP算法。