题解 P1722 【矩阵 II】与 卡特兰数（Catalan）
这题是卡特兰数的一道裸题。
利用这一道题介绍一下什么是卡特兰数（Catalan）
卡特兰数的定义式：
\( h_n=\left\{\begin{matrix} 1 & n=1,0 \\ \sum_{k=1}^{n-1}h_kh_{n-k}& n> 1 \end{matrix}\right. \)
由于这个定义式太复杂。平时我们很难用到。
卡特兰数的推出式：
常见的有下面两种：
-
\(\frac{1}{n+1}\textrm{C}_{2n}^{n}\)
-
\(H_{n+1}=\frac{4n+2}{n+2}H_{n}\)
\(H_{n}=\frac{4n-2}{n+1}H_{n-1}\)
公式一为通项公式。公式二位递推公式。
关于公式一的证明，由于题主的水平有限，再加之以证明过程对于信息竞赛来说意义不大。此处感兴趣的小伙伴可以自行BFS。（思路是利用母函数与二项式定理）
公式二证明：
数学思想：把阶乘拆开，然后配方。
过程如下：
\[\begin{aligned}
h_{n+1}&=\frac{1}{n+2}\textrm{C}_{2n+2}^{n+1} \\
&=\frac{1}{n+2}\frac{\left ( 2n+2 \right )!}{\left ( n+1 \right )!\times\left ( n+1 \right )!}\\
&=\frac{1}{n+2}\frac{\left ( 2n \right )!\times\left ( 2n+1 \right )\left ( 2n+2 \right )}{n!\times n! \times \left ( n+1 \right )^2}\\
&=\frac{1}{n+2}\frac{\left ( 2n+1 \right )\left ( 2n+2 \right )}{n+1}\times\frac{1}{n+1}\textrm{C}_{2n}^{n}\\
&=\frac{4n+2}{n+2}h_n
\end{aligned}
\]
另一个公式类似，读者自证。
卡特兰数的应用：
- 出栈次序
- n对括号正确匹配数目
- 给定节点组成二叉搜索树
- 在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数
- 求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数
（这里建议记住卡特兰数的前几项：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430...）
关于此题：
这道题虽然说是卡特兰数裸题，但有一个细节，就是答案对100取模。
嗯。。然后，题主就写了一个错误的写法。
像这样：
void catalan(int n)
{
f[0]=f[1]=1;
for(int i=1;i<=2*n;++i)
{
f[i]=(f[i-1]*(4*i-2)/(i+1));
f[i]=f[i]%100; //这里是错误点
}
}
为了防止溢出，我甚至开了 unsigned long long....
错误的原因：模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下
- \(\left ( a+b \right )\%p= \left ( a\%p + b\%p \right )\%p\)
- \(\left ( a-b \right )\%p= \left ( a\%p - b\%p \right )\%p\)
- \(\left ( a\times b \right )\%p = \left ( a\%p \times b\%p \right )\%p\)
- \(\left ( a^b \right )\%p = \left ( \left ( a\%p \right )^b \right )\%p\)
故这道题不适合用上文中的递推式来做。而应该用卡特兰数的定义式来做。虽然它不常用
代码如下：
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000
long long f[MAXN];
int main()
{
int n;
std::scanf("%d",&n);
f[0]=f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=i;++j)
{
f[i]+=f[j-1]*f[i-j];
f[i]%=100;
}
std::printf("%d",f[n]);
return 0;
}
