P2285打鼹鼠-题解

基础的DP各位大佬已经讲得很明白了，本文主要讲一讲优化

DP状态很容易想到：\(f[i]\) 表示打完第 \(i\) 只鼹鼠能获得的最多数量。

转移：\(f[i]=\min\limits_{j<i,\ t[i]-t[j]>=dis(i,j)}f[j]+1\) ，即对于每一个打完第 \(j\) 个能来得及走到第 \(i\) 个的 \(j\)，算最大的 \(f[j]+1\)。

重点来了！！

优化

我们发现，如果时间差大于 \(2\times n\)，无论在天涯海角哪里都能走到，又因为输入的时间是升序排列，我们只需要在转移时维护 \(g[i]\) 表示 \(\max\limits_{j<=i}f[i]\)，这样在转移 \(f[i]\) 时就可以先用 \(start=upper \\_ bound-1\) 找出最后一个“时间差大于 \(2\times n\)” 的鼹鼠，他前面的鼹鼠无论多远都能到达，就可以直接用 \(g[start]\) 来代替，枚举时就只需要从 \(start\) 开始枚举了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t[10010],x[10010],y[10010];
int f[10010],g[10010];
int dis(int a,int b) {
	return abs(x[a]-x[b])+abs(y[a]-y[b]);
}
int main() {
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&t[i],&x[i],&y[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int start=max(0,int(upper_bound(t+1,t+i,t[i]-2*n)-t-1));
		f[i]=g[start]+1;
		for(int j=max(1,start);j<i;j++) {
			if(t[i]-t[j]>=dis(i,j))
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		}
		g[i]=max(g[i-1],f[i]);
	}
	printf("%d\n",g[m]);
    return 0;
}

哎哎哎，别急着走，后面还有：

继续优化

我们发现，由于时间是递增的，所以 \(i\) 的 \(start\) 一定不会小于 \(i-1\) 的 \(start\)，所以我们用 \(start[i]\) 记录第 \(i\) 只鼹鼠的 \(start\)，那么 \(upper \\_ bound\) 时就只需要从 \(start[i-1]\) 开始查找。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t[10010],x[10010],y[10010];
int f[10010],g[10010],start[10010];
int dis(int a,int b) {
	return abs(x[a]-x[b])+abs(y[a]-y[b]);
}
int main() {
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&t[i],&x[i],&y[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		start[i]=max(0,int(upper_bound(t+start[i-1],t+i,t[i]-2*n)-t-1));
		f[i]=g[start[i]]+1;
		for(int j=max(1,start[i]);j<i;j++) {
			if(t[i]-t[j]>=dis(i,j))
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		}
		g[i]=max(g[i-1],f[i]);
	}
	printf("%d\n",g[m]);
	return 0;
}

哎哎哎，别急着走，后面还有：

继续继续优化

我们甚至可以直接不用 \(upper \\_ bound\) 和 \(start\) 数组了（没错），开一个变量 \(start\)，维护当前的 \(start\)，转移之前用一个

for(;t[i]-t[start+1]>=2*n;start++);

来更新 \(start\)，可以发现，整个程序运行下来，\(start\) 最多只会更新 \(n\)次，所以复杂度可忽略。

最终代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t[10010],x[10010],y[10010];
int f[10010],g[10010],start;
int dis(int a,int b) {
	return abs(x[a]-x[b])+abs(y[a]-y[b]);
}
int main() {
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&t[i],&x[i],&y[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		for(;t[i]-t[start+1]>=2*n;start++);
		f[i]=g[start]+1;
		for(int j=max(1,start);j<i;j++) {
			if(t[i]-t[j]>=dis(i,j))
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		}
		g[i]=max(g[i-1],f[i]);
	}
	printf("%d\n",g[m]);
	return 0;
}

不开O2可达48ms，可见优化非常显著。

请勿抄袭，如果一定要抄，请理解明白后再抄