ABC-279解题报告

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C. RANDOM

题意：给你两个 01 矩阵 \(S,T\)，问是否可以将 \(S\) 以列为单位重新排列得到 \(T\)。

判断 \(S,T\) 的每列是否可以一一对应即可

做法一

以列为单位提取成字符串，\(S,T\) 分别排序比较即可。

By cxm1024

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s[400010],t[400010];
signed main() {
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		string x;
		cin>>x;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			s[j]+=x[j-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		string x;
		cin>>x;
		for(int j=1;j<=m;j++)
			t[j]+=x[j-1];
	}
	sort(s+1,s+m+1);
	sort(t+1,t+m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(s[i]!=t[i]) {
			cout<<"No"<<endl;
			return 0;
		}
	cout<<"Yes"<<endl;
	return 0;
}

做法二

将每列哈希成一个数，排序后比较即可。

By maspy

void solve() {
  LL(H, W);
  vc<u64> base(H);
  FOR(i, H) base[i] = RNG_64();
  vc<u64> A(W), B(W);

  FOR(i, H) {
    STR(S);
    FOR(j, W) if (S[j] == '#') A[j] += base[i];
  }
  FOR(i, H) {
    STR(S);
    FOR(j, W) if (S[j] == '#') B[j] += base[i];
  }
  sort(all(A));
  sort(all(B));
  Yes(A == B);
}

D. Freefall

题意：一个小球下落时间为 \(\frac{A}{\sqrt{g}}\)，初始时 \(g=1\)，每次可以花费 \(B\) 的时间将 \(g\) 增加 \(1\)，问最小总时间。

题意转化为求 \(\frac{A}{\sqrt{x+1}}+Bx\) 的最小值。

做法一

容易证明该函数为一个下凸函数，所以可以使用三分法。

By cxm1024

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main() {
	long long a,b;
	cin>>a>>b;
	long long l=0,r=1e18;
	auto check=[&](long long x) {
		return (long double)a/sqrt(x+1)+x*b;
	};
	while(l+2<r) {
		long long lmid=(l*2+r)/3,rmid=(l+r*2)/3;
		if(check(lmid)>check(rmid)) l=lmid;
		else r=rmid;
	}
	long double ans=1e18;
	for(long long i=l;i<=r;i++)
		ans=min(ans,check(i));
	printf("%.7Lf\n",ans);
	return 0;
}

做法二

找最小值相当于这个函数的导数等于 \(0\)，而下凸函数的导函数单调上升，所以可用二分求解。

实际计算中，只需要计算 \(f(x)-f(x-1)\)，粗略地将其作为导数的近似来二分即可。

By Kude

a, b = map(int, input().split())
l = -1
r = 10 ** 18

def f(c):
    return c * b + a / (1 + c) ** 0.5

while r - l > 2:
    c1 = (l + r) // 2
    c2 = c1 + 1
    if f(c1) <= f(c2):
        r = c2
    else:
        l = c1

print(f'{min(f(l + 1), f(l + 2)):.10f}')

做法三

考虑答案关于 \(g\) 的函数 \(f(g)=\frac{A}{\sqrt{g}}+B(g-1)\)，由于最小值与常数无关，所以可以看成 \(f(g)=\frac{A}{\sqrt{g}}+Bg\)，则由均值不等式：

\[\begin{aligned} f(g)&=\frac{A}{\sqrt{g}}+Bg\\ &=\frac{A}{2\sqrt{g}}+\frac{A}{2\sqrt{g}}+Bg\\ &=\frac{\frac{3A}{2\sqrt{g}}+\frac{3A}{2\sqrt{g}}+3Bg}{3}\\ &\ge\sqrt[3]{\frac{3A}{2\sqrt{g}}\cdot \frac{3A}{2\sqrt{g}}\cdot 3Bg}\\ &=3\sqrt[3]{\frac{A^2B}{4}} \end{aligned} \]

由此可知函数最小值不会小于 \(3\sqrt[3]{\frac{A^2B}{4}}\)，取等条件为 \(\frac{A}{2\sqrt{g}}=Bg\)，即 \(g=(\frac{A}{2B})^\frac{2}{3}\)。

By EternalAlexander

#include <bits/stdc++.h>
const long double eps = 1e-10;
using ldb = long double;
using ll = long long;
ldb a,b;
long double calc(long double x) {
	return x * b + (long double) a / std::sqrt(1 + x);
}

int main() {
	std::cin >> a >> b;
	long double x = pow( a / (2 * b) , 2.0 / 3 ) - 1;
	ll x1 = x;
	long double ans = a;
	for (ll p = x1 - 10; p <= x1 + 10; ++ p) ans = std::min(ans,calc(p));
	printf("%.10Lf",ans);
	return 0;
}