最小点覆盖=最大匹配证明

1.最大匹配里的边，每一条边都需要使用顶点覆盖，也就是说最小点覆盖大于等于最大匹配数

2.我们任取一个最大匹配，将在最大匹配内的点染成蓝色，不在最大匹配内的点染成黑色
显然，不可能有边的两个端点都是黑色，也就是说每条边都至少有一个蓝色点.
我们只需选择蓝色点即可，考虑在每条匹配边中只选一个蓝点。

选择蓝点的方法如下:
如果存在一个端点与黑色点直接相连，那么我们选择这个蓝色点，否则随便选择一个点即可，这样我们就构造了一种大小为最大匹配的最小点覆盖。

注意如果存在下面的情况，则我们需要在１－－２这条边中同时选择两个蓝色点来盖住黑色点。但下面这种情况是不存在的。

1--2是匹配边，1，2点均是蓝色
3，4都是未匹配点，1-4，2-3是未匹配边
因为如果是这样的话，就会存在增广路。
综上：最小点覆盖=最大匹配

以上构造方式是错误的,某老师的课件上出了错。如下例中，选出1，2，C三个点来进行覆盖，发现2--B这条边盖不住。

 

 

 

首先,因为最大匹配是原二分图边集的一个子集，并且所有边都不相交。
所以至少要从每条匹配边中选出一个端点，于是最小点覆盖包含的点数不可能小于最大匹配包含的边数。于是如果对任意二分图构造一组点覆盖，其包含的点数等于最大匹配，即可证明

 

备注：

匹配点：匹配边所连接的点

非匹配点：没有被匹配边连接的点

 

构造方法如下:
1:求出最大匹配
2:从左部每个非匹配点出发，再执行一次DFS找增广路的过程(一定会失败，也就是说走出一条长度为偶数，且非匹配边与匹配边交错的路径）,标记所有访问过的节点。下例中红色为匹配边，从未匹配点4出发，走出如下路径(4---C---3---B---2)
3：取左部没有打上标记的点，右边打上标记的点，得到最小点覆盖。下例中取出左部的1号点，右部的C，B两个点。

 

 

证明其正确性，经过上述构造方法
1:左边的非匹配点一定都被标记，因为它们是出发点。
2:右边非匹配点一定没有被标记,否则找到增广路
3:匹配边所连接的匹配点要么都被标记，要么都没有被标记,因为在在找增广路的过程中,左部匹配点只能通过右部到达(例如上例中c--3这条匹配边，两个点都被标记，A--1这条匹配边，两个点都没有被标记）
在构造中，我们取左部没有被标记的点，右边被标记的点，根据上面讨论可知，正好是每条匹配边取了一个点，于是选出来的点数等于最大匹配的边数。（例如上例中4--C--3--B--2,我们选择了C,B这两个点，其对应着C-3这条匹配边，我们选了一个C点。

对于B-2 这条匹配边，我们选了B点.

还有一条匹配边A-1.这两个点都没有在我们所找的增广路径上。于是任意选一个点就好了。

于是每条匹配边，选一个点出来即可

于是最小点覆盖=最大匹配.

再来讨论这种取法是否覆盖了所有的边
1:匹配边一定被覆盖，因为正好有一个端点被取走
2:不存在连接两个非匹配点的边，否则就有长度为1的增广路
3:连接左部非匹配点i,右边匹配点J的边，因为i是出发点，所以j一定被访问，而我们取了右部所有被标记的点，所以这样的边被覆盖
4：连接左部匹配点i,右边非匹配点J的边,,这样的i一定没有被访问，否则再走到J就找到增广路。而我们取了左边所有未被标记的点，于是这样的边也被覆盖。

 

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