为何要研究Laplace方程?

这个问题我在一次面试的时候被问到, 当时有些懵, 转而有点不屑: 这难道不是理所当然的事吗? 毕竟调和函数的数学性质非常优美. 于是我当时糊口答了几个诸如逼近定理, 解析性, Harnack不等式之类的应用.
今天读到Yaiza Canzani的讲义 Analysis on Manifolds via the Laplacian^[1] , 才发觉自己有些过于自大, 其实Laplace方程背后有许多物理应用.
在物理学中, 有许多模型的位势函数就是调和函数, 如稳态的流体, 静电场等, 而热扩散, 波的传播, 量子粒子的运动又和热方程, 波方程, 薛定谔方程相关.
我想这个回答应该比我原来的要好. 希望能以此为鉴, 多多学习.

我发现我会有一段时间, 说长不长说短不短的, 就没有学习数学的热情了. 也许是身体不舒服的原因, 也许是前一段时间工作量大, 也许是到了期末, 自然又想回家了, 心态便也放松了.
但是, 我发现通过阅读课外(与数学无关)文字, 如一些深入的思考文章, 或者文学名著, 可以让心静下来. 又或者可以通过阅读一些高质量杂志上文章, 来暂时给自己的大脑转移一下方向,
这样可以得到有效的休息.

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1. 从一个关于特征函数的梯度估计的报告信息了解到的: 报告人 Speaker: 王丽涵 助理教授; 单位 Affiliation: 加州州立大学长滩分校 ↩︎