凭空消失的一项

令 \(\omega\) 为1-形式, 则有(设 \(\{e_i\}\) 为一个局部基)
\begin{equation}\label{1}
\langle \omega (\nabla_X e_i),\omega (e_i)\rangle=0.
\end{equation}
证明如下:

\[ \begin{aligned} \langle \omega (\nabla_X e_i),\omega (e_i)\rangle=& \langle \omega (\langle \nabla_X e_i,e_j \rangle e_j),\omega (e_i)\rangle\\ =& \langle \nabla_X e_i,e_j \rangle\langle \omega ( e_j),\omega (e_i)\rangle\\ =& - \langle e_i,\nabla_X e_j \rangle\langle \omega ( e_j),\omega (e_i)\rangle\\ =& - \langle \omega ( e_j),\omega (\nabla_X e_j)\rangle. \end{aligned} \]

形如 \(\eqref{1}\) 的项在微分几何的计算中经常出现, 比如 \(\omega=df\) 可能出现在推导某个映射的第一变分公式中.
由此可以展开, 文献中出现的许多局部坐标公式中有些项是很可能有(反)对称性的.