外积(Wedge Product)

关于微分形式的外积(wedge product), 又称楔积, 不同的作者会采用不同的记号.
这里采用行列式记号, 即John M. Lee采用的记号. (另一个记号是Alt记号, 多为复几何/多复变的专家采用. 二者之间差一个常系数.)

先看一个例子, 这是一个2-form \(\Omega\) 和1-form \(\theta\)的外积:

\[\Omega \wedge \theta (X,Y,Z)=\Omega(X,Y) \theta (Z)+\Omega (Y,Z)\theta (X)+\Omega (Z,X) \theta (Y), \]

我发现右边正好是最节约的表达形式: 按照通常的公式展开会有很多同样的项被合并, 如 $\Omega(X,Y) \theta (Z)-\Omega(Y,X) \theta (Z)=2\Omega(X,Y) $, 可是右边正好每一个代表项就出现一次.

这是巧合吗? 于是我又计算了另一个例子, 来看两个2-form的外积:

\[\begin{aligned} \omega \wedge \eta (X,Y,Z,W)=&\omega (X,Y) \eta (Z,W)+ \omega (X,Z) \eta (W,Y)+\omega (X,W) \eta (Y,Z) \\ &+\omega (Y,Z)\eta (W,X)+\omega (Y,W)\eta (X,Z)\\ &+\omega (Z,W)\eta (X,Y) \end{aligned} \]

其中的计算经过了一些化简, 但是最后的结果竟然又是同样的最节约的形式!

这驱使我回到外积的最初定义:

\[\omega \wedge \eta=\frac{(k+l) !}{k ! l !} \operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta), \]

这里的Alt算子定义如下:

\[\text { Alt } \alpha=\frac{1}{k !} \sum_{\sigma \in S_{k}}(\operatorname{sgn} \sigma)\left({ }^{\sigma} \alpha\right). \]

Alt算子定义中的系数$k! $ 意义容易理解, 因为右端的求和项正好是 $k! $ 项, 所以这算是一个平均, 也使得Alt算子作用到本身就是微分形式的张量场时是保持不变的. 第一眼看到外积中的系数时, 我并没有留意什么, 觉得不过可能是为了公式好看的普通的系数罢了. 今天再看才发现, 这个不正是组合数 \(C_{k+l}^{k}\) 吗? 受到这点的启发, 那么也就好解释上面发现的现象了.

实际上, 结合两个公式, 我们有
\begin{equation}\label{eq1}
\omega \wedge \eta=\frac{1}{k ! l !} \sum_{\sigma \in S_{k}}(\operatorname{sgn} \sigma)\left({ }^{\sigma} \alpha\right)
\end{equation}
首先, $\eqref{eq1} $ 右端的求和项中最节约的项总共应该有 \(C_{k+l}^{k}\) 项: 假设右端作用上 \(k+l\) 个向量, 每从 \(k+l\) 个向量中选取 \(k\) 个向量出来被 \(\omega\) 作用(\(\omega\) 是一个 \(k\)-形式), 剩下的 \(l\) 个向量就被 \(\eta\) 作用, 这代表了公式右端求和符号中的一项. 按照这样的取法, 每个取法, 都对应一项; 且不同取法对应的项不能互相合并. 接下来, 容易看出每一项会被重复 $k!\cdot l! $ 次, 而这恰好是公式 $\eqref{eq1} $ 前面的系数!

由此可见细节的重要性. 数学世界中很多有趣的东西就藏在细节里, 一旦忽视或错过这些细节, 不仅可能会对整体理论的理解出现大的偏差, 也会让你失去了一次体验数学魅力的机会. 另一方面, 我们也可以倒过来想, 为什么在定义外积时会引入这样的常系数? 理论上看, 微分形式外积之后仍是微分形式, 故其本身就可以表示为某种最节约的几项求和, 而在定义中加上这样的系数恰好使得其呈现出公式上的简明. 这似乎又回到了最初的起点, 我一开始就是认为这个系数是为了公式好看才加上去的, 结果也验证了这一点. 然而, 这其中又有不同之处. 一开始只是有一个飘渺的感觉, 经过一些推导之后, 这些感觉变成了真实的感受, 并成为了我的一种经验. 当然, 这种简单的数学感觉也许微不足道, 但它却让我对数学的美有了更深的理解.

像今天这样对数学的追问, 不仅是新的收获, 也在无形之中温习了一遍研究数学世界里永恒的话题: 直觉和证明.