常曲率空间的扭积模型

定理 2.2.1

设 \(Q^n_\lambda\) 表示常曲率为 \(\lambda\) 的单连通空间形式，且 \(p\) 是 \(Q^n_\lambda\) 中的一个点。那么

1. 当 \(\lambda \leq 0\) 时，\(Q^n_\lambda \setminus \{p\} = (0, \infty) \times_{s^2_\lambda} S^{n-1}(1)\)；
2. 当 \(\lambda > 0\) 时，\(Q^n_\lambda \setminus \{p, -p\} = (0, \pi / \sqrt{\lambda}) \times_{s^2_\lambda} S^{n-1}(1)\)，

其中

\[s_\lambda(t) = \begin{cases} t & \text{若 } \lambda = 0, \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda} t) & \text{若 } \lambda > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{|\lambda|}} \sinh(\sqrt{|\lambda|} t) & \text{若 } \lambda < 0. \end{cases} \]

译自Gromoll and Walschap, Metric foliations and curvature.