曲率保持定号的黎曼流形

摘自伍鸿熙的黎曼几何初步的第四章.

..., 人们能够说，理解曲率张量为是微分几何中两三个最重要的问题之一. 几何中带有普遍性的主题为是讨论曲率与拓扑之间的关系. 在这条线索下，最简单的定理是Bonnet-Myers定理（见第7章），它说：Ricci曲率以一个正常数为下界的完备黎曼流形是紧致的.而对于负截面曲率的度量，主要的问题是研究黎曼流形的基本群与几何结构之间的相互作用，见第5章中的Cartan-Hadamard定理及其推论. 对于正截面曲率的度量来说，其总体的图景几乎是一无所知，甚至到现在为止我们还不知道在\(S^2 \times S^2\)（\(S^2\)为\(R^3\)中二维单位球面）上能否配备一个正截面曲率的黎曼度量. 对于“截面曲率的正性能对流形带来怎样的拓扑含义”这样一个广泛的问题仍然保持空白，在过去的十年间，对Ricci曲率已作出了某些坚实的进展，其中某些定理在后面将会提到.在第2章末，我们已给出了与数量曲率有紧密关系的一些最重要问题的参考文献.

剩下要指出的是，在讨论曲率保持定号的度量时必须先假设度量的完备性然后再去导出这个流形的拓扑性质. 一方面，在任何微分流形上能配备一个完备的黎曼度量，使得其曲率（不一定保持定号）能像人们所希望的那么小，这是因为对于紧致流形\(M\)，如\(K\)是给定黎曼度量\(g\)的截面曲率，则对任意一个正常数\(A\),\(Ag\)的截面曲率\(K_A\)满足

\[K_A=\frac{1}{A}K. \]

而对非紧致流形\(M\)，已经证明（见[G31])，如果\(\delta\)是\(M\)上的一个正的连续函数, 则在\(M\)上存在一个完备的黎曼度量，其截面曲率\(K\)能满足\(K<\delta\).

另一方面，任何非紧致流形\(M\)能赋以这样的一个黎曼度量，使得其曲率张量\(K\)满足\(a^2<K<b^2\)或\(-a^2<K<-b^2\). 这里\(a，b\)是任意的互不相等的正数（见[G4]). 所以从 Cartan-Hadamard定理（第5章）的观点来看，这样的负曲率度量一般地说，必须是非完备的. 从上述的Bonnet-Mvers定理也知这样的正曲率度量同样必须是非完备的.