线段树深入——普适性の思路

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Dans les mathématiques, le progrès vient souvent d'une abstraction plus profonde, plutôt que d'un calcul plus compliqué
— Alexandre Grothendieck

线段树深入——普适性の思路

0. 导引

前置知识：群的定义，环的定义 + 线段树（只用到动态开点？）

（不会的话，好的文章 群，环

其实这只是一总结性的文章；

其实现在精神状态十分美好

某些奇奇怪怪的东西会用 『』

无关紧要的定义会用引用

写在 『期末』 之前

1. 朴素线段树の本质

1.1 半群

在做了这么多的线段树的题之后，对于线段树能够维护的信息，我们都有了一个判断：

1. 运算需要满足结合律。e.g. 定义在 \(\Z\) 上的加法 \(+\)，有 \(\forall a,b,c \in \Z, a+b+c=a+(b+c)\)
2. 封闭性。（这点应该很显然了）

很好

看到这个，你有没有想到一些东西 （如果没想到，先去补习群

没错就是『半群』

__半群__

半群是一个二元组 \((G,\otimes)\)

• \(G \not= \varnothing\)
• \(\otimes\) 是定义在 \(G\) 上的运算 （封闭性）
• \(\otimes\) 满足结合律，即 \(\forall a,b,c \in G, \ a\otimes b\otimes c=a\otimes(b\otimes c)\)

1.2 本质

所以说朴素线段树就是一个基于半群的数据结构，可以叫做『半群线段树』

半群线段树

半群线段树是一个数据结构，维护一个序列 \(\{a_n\}, a_i\in G,i=1,2,3...,n\)，\((G,\otimes)\) 是一个半群

支持以下操作：

• 修改，给定下标 \(\text{id},1\le\text{id}\le n\)，修改值 \(d \in G\)，使 \(a_\text{id}\larr d\)。
• 查询（区间查询），给定范围 \(\text l,\text r(1\le \text l \le \text r \le n)\)，求 \(\otimes_{i=\text l}^{\text r}a_i\)。

这样子，对于节点 id ，它的维护就是

\[\text{id} = \text{id}.\text{lson} \otimes \text{id}.\text{rson} \]

就是我们写的 pushup

注意：

• 对于初学者（抽象代数），应注意在半群上，运算没有交换律

• 加上 lazy_tag 后，实质就并不是半群线段树了，可以说是『双半群结构』，也可以说是『环线段树』

1.3 例题（或者说应用？）

区间求和、积

实数与加法、乘法肯定构成群

矩阵乘法

矩阵与矩阵乘法是构成群的

字符串 Hash

这玩意儿之前周考考过；

乍一看，这东西好像不满足结合律，可是再仔细看看呢

先看计算过程：

\[\boxed{\text{Hash} = (\sum_{i=0}^{\text{length-1}}\text{str}_i \cdot \text{base}^{n-i-1}) \ \text{mod}\ p} \]

不妨让 \(G\) 中的每一个元素为一个二元组 \((h,length)\)，\(h\) 是字符串 Hash 值，\(length\) 是字符串长度

\(\to\) \(\otimes\) 的定义不就出来了吗

\[\forall s_1,s_2\in G, s_1 \otimes s_2=((s_1.h \cdot \text{base}^{s_2.length} + s_2.h)\ \text{mod}\ p, s_1.length+s_2.length ) \]

封闭性显然

• $ (s_1.h \cdot \text{base}^{s_2.length} + s_2.h)\ \text{mod}\ p \ \in \ \Z_p$

• \(s_1.length+s_2.length \ \in \ \N\)

结合律大家可以自己推推

1.4 信息设计~~

依然是从半群入手

本质上，就是一个『映射』（函数）：\(f : ([1,n] \cap \mathbb Z)^2 \to G\)

哎呀，说简单点就是 \(f(x, y) \to G,x,y\in [1,n],\mathbb Z\)

参考

诶，我们又知道了：\(G \otimes G \to G\)。此时有了 \(f(l,\text{mid}) = x,f(\text{mid} +1， r) = y\) ，就有：\(f(l,r)=x \otimes y\)

具体的参考大佬博客

此时由于封闭性与结合律的限制，每个区间就唯一对应了一个值，且不会在维护时丢失信息

1.5 例题

不想写了

2. 环线段树，或者 双半群？

2.1 出来了

澄清一点，此环非彼环

其实这里的环是抽象代数里的概念

__环__

环：直接用大佬的定义了

环公理 ring axioms

(1) 集合 \(R\) 称为 环，若定义了满足以下公理的二元运算 \(+, \times\)，称为加法和乘法：

(i) \((R, +)\) 是 阿贝尔群。

(ii) \(\times\) 满足 结合律。

(iii) \(R\) 满足 分配律：对任意 \(a, b, c\in R\)，\((a + b) \times c = a \times c + b \times c\)。

(2) 若乘法交换，则 \(R\) 称为 交换环 commutative ring。

(3) 若存在 \(1\in R\) 满足对任意 \(a\in R\)，\(1\times a = a\times 1 = a\)，则称 \(1\) 有 单位元。

乘法符号一般省略。加法群的单位元记为 \(0\)，逆元记为 \(-a\)。

其实吧，也可以说成是 双半群 结构（信息一个半群，lazy_tag 一个半群）

环线段树是一个数据结构，维护序列 \(\{a_n\},a_i\in R,i=1,2,3...,n\)，支持操作：

• 修改（区间），给定范围 \(\text l, \text r\)，以及修改值 \(d\)，使 \(\forall i \in[\text l,\text r],a_i \larr d \times a_i\)。

• 查询（区间），给定范围 \(\text l, \text r\)，求 \(\sum_{i=\text l}^{\text r}a_i\)

  这，就是一个带 lazy_tag 的线段树

2.1 油水分离，如何将值与标记分开

注意：一般题目中有多少个修改操作，就有多少个 tag

规定：

• 将值记为 val

• 将标记记为 tag

• 将值的集合记为 \(D\)

• 将标记集合记为 \(T\)

  有以下运算需得到满足：

• \(\times : T \oplus D \to D\)，给某个值加上标记

• \(\times : T \oplus T\to T\) ，标记的下传， \(\iff\) pushdown

• \(+:D\oplus D \to D\)，值的求和

  然后呢，我们发现 \(D\) 总是多维向量的集合，\(T\) 总是方阵的集合（大小：若 \(D\) 是 \(n\) 向量集合，则每个方阵大小为 \(n\times n\)）

2.3 依旧应用

区间加乘+区间求和

加与乘都是线性变换，就维护向量 \([a_i,1]\)，修改就乘上一个 \(2\) 阶方阵

·······（实力有限，憋不出来了）

2.4 忘了

有一篇比较好的讲区间历史操作，从矩阵乘法到标记的文章

3. 特殊的线段树

先鸽着，因为我不会

4.后记

抽象化不是为了变难，而是为了变得更加简便，方便与实践。

这是我想对我们班同学说的

在学到线段树的时候，我就开始疑惑，线段树的本质是什么

再找了几篇博客后，已经有了些初步理解

也写了篇纸质版总结

我个人认为在彻底理解到这『普适性の思路』后，解决这类题的思路就有了一个固定、可靠的『路径(Path)』，虽然我还很弱

参考资料：

抽象线段树理论

区间历史操作，从矩阵乘法到标记

《抽象代数》学习笔记 I —— 群论 - qAlex_Weiq - 博客园

《抽象代数》学习笔记 II —— 环论 - qAlex_Weiq - 博客园

线段树进阶 Part 1 - qAlex_Weiq - 博客园

"Wir müssen wissen, wir werden wissen."

——大卫・希尔伯特