《抽象代数》学习笔记 I —— 群论
基于交叉信息研究院的抽象代数课程和课本 Abstract Algebra by David S. Dummit, Richard M. Foote。
抽象代数的意义：
- 对具有结合律的作用的抽象表示，相同的作用只要研究一遍。
- 研究不同作用所共有的性质，发展系统性的手段处理具有特定性质的作用。
- 最终发现特定性质的作用与研究它们的各种手段的广泛应用。
Chap.1 Introduction to Groups
群是具有结合律，存在单位元和逆元的抽象概念，只有作用在集合上才能体现出它的 “作用”。从群作用在集合上导出的对称性和其它性质是研究群的重要手段。事实上，很多群就是由此定义的。因此，很多人说群论是描述对称的理论。
A group is not really about symmetries of a particular object, it's an abstract way that things even can be symmetric. —— Grant Sanderson
- 集合 \(A\) 上的 二元关系 binary relation \(R\) 是 \(A\times A\) 的子集。\(a\sim b\) 表示 \((a, b)\in R\)。二元关系称为 等价关系 equivalence relation，若 \(R\) 自反 reflexive，对称 symmetric 且 传递 transitive。
- \(\Z\) 表示整数集，\(\Z_n\cong \Z / n\Z\)。\(M_n(\R)\) 表示 \(n\times n\) 的实矩阵集合。\(GL_n(\R)\) 表示 \(n\times n\) 且秩为 \(n\) 的实矩阵集合。
1.1 Basic Axioms and Examples
基本公理。
二元运算 binary relation
集合 \(G\) 上的 二元运算 \(\star\) 是 \(G\times G \to G\) 的函数 \(\star(a, b)\)。
- 若 \(a\star b = b\star a\)，则称 \(\star\) 具有 交换律 commutative law。
- 若 \((a\star b)\star c = a\star (b\star c)\)，则称 \(\star\) 具有 结合律 associative law。
- 对 \(G\) 的子集 \(H\)，若 \(H\) 的任意两个元素运算后仍属于 \(H\)，则称 \(H\) 在 \(\star\) 下 封闭 closed。
注意二元运算本身不要求结合律或交换律。
Exps.
(i) \(\Z, \Q, \R, \C\) 上的加法。结合且交换。
(ii) 矩阵乘法。结合但不交换。
(iii) \(\Z ^ +\) 上的减法不是二元运算。
群公理 group axioms
集合 \(G\) 和其上的二元运算 \(\star\) 构成的有序组 \((G, \star)\) 称为 群 group，若满足以下三条公理：
(i) \(\star\) 满足结合律。
(ii) 存在 单位元 unit \(e\)，满足 \(a\star e = e\star a = a,\ \forall a\in G\)。
(iii) 每个元素存在 逆元 inverse \(a ^ {-1}\)，满足 \(a \star a ^ {-1} = a ^ {-1} \star a = e,\ \forall a\in G\)。
若 \(\star\) 有交换律，则 \(G\) 称为 阿贝尔群 Abelian group, commutative group。
Exps.
(i) \(\Z\), \(\Q\), \(\R\), \(\C\) 在加法下形成阿贝尔群。
(ii) \(GL_n(\R)\) 在矩阵乘法下形成群，但不是阿贝尔群。
(iii) \(\Z / n\Z\) 在加法下形成阿贝尔群。
(iv) 群的直积是群 (Section 5.1)。
\(G\) 的元素个数称为 阶 order。\(G\) 不一定有限，但公理 (ii) 保证 \(G\) 非空。
群公理暗含了 \(G\) 对 \(\star\) 运算的封闭性。
结合律是几乎所有作用的内在性质：函数复合具有结合律。
单位元说明 “什么也不做” 是一种对称。
逆元说明对称作用的逆作用也是一种对称。
结论 1.1 是关于群的基本性质。
Proposition 1.1
(1) 单位元唯一。
(2) 每个元素的逆元唯一。
(3) \((a ^ {-1}) ^ {-1} = a\)。
(4) \((ab) ^ {-1} = b ^ {-1} a ^ {-1}\)。
(5) 广义结合律：\(a_1a_2\cdots a_n\) 的结果与括号位置无关。
Proof
(2)：设 \(b, c\) 是 \(a\) 的逆元，则 \(ab = e\) 且 \(ca = e\)，于是 \(c = ce = cab = eb = b\)。
(4)：设 \(c = (ab) ^ {-1}\)，则 \(e = abc\)，分别左乘 \(a ^ {-1}\) 和 \(b ^ {-1}\)。
记号
一般情况下，将 \(\star\) 看成元素的乘法运算（不是数学乘法），\(a\star b\) 记为 \(ab\)，单位元 \(e\) 记为 \(1\)。对 \(n\in \Z ^ +\)，记 \(x ^ n = xx\cdots x\)，共 \(n\) 项，记 \(x ^ {-n} = x ^ {-1}x ^ {-1}\cdots x ^ {-1}\)，共 \(n\) 项。设 \(x ^ 0 = 1\)。定义的合理性由结论 1.1 的第五条保证。
特殊情况下，\(\star\) 可以看成元素的加法运算（不是数学加法），\(a\star b\) 记为 \(a + b\)，单位元 \(e\) 记为 \(0\)，逆元记为 \(-a\)。例如，环要求 \(G\) 上定义加法和乘法，且 \((G, +)\) 构成阿贝尔群。类似定义 \(nx, -nx\) 和 \(0x\)。
元素的阶 order
最小的正整数 \(n\) 满足 \(x ^ n = 1\) 称为 \(x\) 的 阶，记作 \(|x|\)。当 \(G\) 为无限群时，\(n\) 可能不存在，此时 \(|x| = \infty\)。
和数论的阶是同一个概念。模 \(n\) 下的简化剩余系就是群 \((\Z / n\Z) ^ \times\)。
结论 1.2 是等式的消去律。
Proposition 1.2
(1) \(au = av \implies u = v\)。
(2) \(ub = vb\implies u = v\)。
Proof
(1)：\(au = av\implies a ^ {-1}au = a ^ {-1}av \implies eu = ev \implies u = v\)。
像解方程一样将元素在等式左右移动。
注意：必须同时左乘或同时右乘。\(a = a\)，但 \(xa\) 不一定等于 \(ax\)。
1.2 Dihedral Groups
基本群之一。
二面体群 dihedral group
考虑平面上所有使正 \(n\) 边形保持不变的作用（刚体运动且必须恰好落在原来的位置）：绕中心旋转 \(\fr {2k\pi} {n}\) 弧度，其中 \(0\leq k < n\)。如果将正 \(n\) 边形视为三维空间中的二面体，则翻转导出了更多这样的作用。所有这些作用构成的群称为 \(2n\) 阶 二面体群 \(D_{2n}\)。
\(1\) 有 \(n\) 种方案，\(2\) 有两种方案，剩下的点由 \(1, 2\) 的位置确定。
- 对于 \(D_4\)，将二面体旋转 \(\pi\) 和沿线段的垂直平分线翻转是两种不同的对称作用，后者改变了二面体的正反。
- \(D_{2n}\) 是 \(n\) 边形对应的二面体群，不是 \(2n\) 边形。
记 \(r\) 表示绕中心顺时针旋转 \(\fr {2 \pi} n\) 弧度，\(s\) 表示以 \(1\)（原来的位置）和中心的连线为轴翻转，则
(1) \(1, r, \cdots, r ^ {n - 1}\) 互不相同，且 \(r ^ n = 1\)。所以 \(|r| = n\)。
(2) \(|s| = 2\) 且对任意 \(j\in \Z\)，\(s\neq r ^ j\)。
(3) 对任意 \(0\leq i, j < n\) 且 \(i\neq j\)，\(sr ^ i\neq sr ^ j\)。
(4) \(rs = sr ^ {-1}\)。
(5) \(r ^ is = sr ^ {-i}\)。
- 作用的复合从右向左，\(rs\) 表示先执行 \(s\)，再执行 \(r\)，与函数复合的顺序一致。
(4) 是二面体群的重要性质，(5) 是 (4) 的直接推论：它揭示了 \(s\) 如何与 \(r\) 的幂次交换，于是 \(D_{2n}\) 的所有元素可以写成 \(s ^ ir ^ j\) 的形式，其中 \(0\leq i < 2\)，\(0\leq j < n\)，因为总可以将 \(r\) 右侧的 \(s\) 挪到它左侧。类似地，总可以将 \(r\) 左侧的 \(s\) 挪到它右侧，用 \(r ^ is ^ j\) 表示所有元素。因此
生成元 generator
二面体群由 \(r, s\) 和一些关系生成。推广这个思想，称 \(G\) 被集合 \(S\) 生成，若 \(G\) 的每个元素由 \(S\) 的元素和 它们的逆元 有限相乘得到，记作 \(G = \an {S}\)。\(S\) 称为 \(G\) 的 生成元 的集合。
为什么要有逆元？考虑 \(\Z = \an{1}\)。
对于有限群，则不需要逆元。
由群的封闭性可知 \(S\) 中元素的乘积集合等于 \(G\)，而不只是包含 \(G\)。
关系 relation
\(S\cup \{1\}\) 的元素之间的等式 \(R_1, R_2, \cdots, R_m\) 称为 关系，如 \(D_{2n}\) 有 \(r ^ n = s ^ 2 = 1\) 和 \(rs = sr ^ {-1}\)。
称为 \(G\) 的 表示 representation。于是
这些关系唯一确定了 \(D_{2n}\)，任何其它满足这些关系的群一定满足某些无法由这些关系推出的其它关系：\(D_{2n}\) 是满足这些关系的最大的群。
寻找一个群的表示是困难的，且表示不一定唯一。
1.3 Symmetric Groups
基本群之二。
对称群 symmetric group
所有 \(n\) 阶排列在排列复合下构成 \(n\) 阶 对称群。
\(S_{\Omega}\) 表示所有双射 \(\sigma : \Omega \to \Omega\) 构成的集合，\(S_n\) 表示 \(\Omega = \{1, 2, \cdots, n\}\)，\(|S_n| = n!\)。
排列就是把集合双射到自身。
对 \(n\geq 3\)，\(S_n\) 不是阿贝尔群。
环分解 cycle decomposition
环
表示 \(a_i\mps a_{i + 1}\)，\(a_n\mps a_1\)，其它位置不变。不要把顺序搞反了。
不交的环是交换的。
任何排列都可以写成若干无交环的乘积，称为排列的 环分解。
一个排列的阶是它的环分解中所有环的环长的最小公倍数。
1.5 The Quaternion Group
基本群之三。
四元数群 quaternion group
满足 \(1\) 为单位元，\(-1\) 的作用是改变符号。
乘法的顺序是 \(i, j, k\)，即 \(ij = k\)，\(jk = i\)，\(ki = j\)，交换顺序反号。特别地，\(i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = -1\)。
1.6 Homomorphisms and Isomorphisms
群论中最重要的概念。
同态 homomorphism
同态是一个群到另一个群的保持结构的映射。对 \((G, \star)\) 和 \((H, \diamond)\)，映射 \(\ph : G\to H\) 称为 同态，若
或简写为
同构 isomorphism
同构是两个群之间保持结构的映射。映射 \(\ph\) 称为 同构，若它既是同态，也是双射。如果两个群同构，则它们拥有 完全相同的结构性质。除了元素表示不同，它们在其它所有方面都是相同的。
表示同构的二元关系符为 \(\cong\)（\cong）。
Exps.
(i) \(G\cong G\)。
(ii) \((\R, +) \cong (\R ^ + , \times)\)（指数和对数）。
(iii) \(S_{\Delta} = S_{\Omega} \iff |\Delta| = |\Omega|\)。
同构的一些必要条件：
(1) \(|G| = |H|\)。
(2) \(G\) 是阿贝尔群当且仅当 \(H\) 是阿贝尔群：\(S_3\) 和 \(\Z / 6\Z\) 不同构。
(3) 对任意 \(x\in G\)，\(|x| = |\ph(x)|\)。\((\R - \{0\}, \times)\) 和 \((\R, +)\) 不同构，前者有阶为 \(2\) 的元素。
同构的意义：
- 同构的群只需要研究其中一个。
- 具有相同性质的群同构。
同态的意义：设 \(G\) 的像集为 \(K\)。
- 若 \(\ph\) 是单射，则 \(H\) 存在子结构（子群）\(K\) 和 \(G\) 同构。
- 若 \(\ph\) 不是单射，则同态相当于将 \(G\) “折叠” 成若干几乎和 \(K\) 同构的部分（陪集），每一份在映射后均得到 \(K\)。引出商群的概念：映射到相同元素的元素坍缩成一个元素，那么 \(G\) 坍缩成和 \(K\) 同构的商群，自然地有第一同态定理 \(G / \ker \ph \cong K\)。
同态与表示
对 \(G = \an {s_1, \cdots, s_m}\)，\(H = \{r_1, \cdots, r_m\}\)，若 \(G\) 的关系将 \(s_i\) 替换为 \(r_i\) 后仍成立，则存在唯一同态 \(\ph : G\to H\) 将 \(s_i\) 映到 \(r_i\)。
若 \(H = \an {r_1, \cdots, r_m}\)，则 \(\ph\) 是满射，因为将乘积中的 \(r_i\) 替换为 \(s_i\) 即得一个原像。但 \(\ph\) 不一定是单射，因为 \(H\) 的关系可能更强。此时若 \(|G| = |H|\)，则 \(\ph\) 是单射，推出 \(\ph\) 是双射，\(G\cong H\)。
1.7 Group Actions
群作用在集合上导出的结论一定程度上反映了群本身的结构性质。
群作用 group action
映射 \(G\times A\to A\)（写作 \(g\cdot a\)）是群 \(G\) 在集合 \(A\) 上的 群作用，若
(1) \(\forall g_1, g_2\in G,\ a\in A : g_1\cdot( g_2 \cdot a) = (g_1g_2) \cdot a\)。
(2) \(\forall a\in A : 1\cdot a = a\)。
即单位元保持元素不动且满足结合律。\(\cdot\) 通常省略不写，注意它不是二元运算。
作用的排列表示 permutation representation associated to the given action
对每个 \(g\in G\) 定义映射 \(\s_g : A \to A\)，其中 \(\s_g(a) = g\cdot a\)。
(1) \(\s_g\) 是 \(A\) 的排列，因为 \(\s_g \circ \s_{g ^ {-1}}\) 是单位排列，即 \(\s_g\) 有逆映射。
(2) 定义映射 \(\ph : G\to S_A\)，其中 \(\ph(g) = \s_g\)，则 \(\ph\) 是同态。\(\ph\) 称为对应作用的 排列表示。
因为 \(g\) 作用在 \(A\) 上得到 \(A\) 的排列，所以 \(g\) 构成的群就是 \(A\) 的若干排列构成的群。不同的 \(g\) 的作用可以相同，所以 \(\ph\) 不是单射。
反之，给定 \(G\to S_A\) 的同态，由该同态唯一确定了 \(g\) 在 \(A\) 上的一个作用。
将在第四章深入研究群作用。
Exp.
(1) 平凡作用 \(g\cdot a = a\)。
(2) 忠实 faithful 作用 \(\s(g_1) \neq \s(g_2)\)。
(3) 核 kernel \(\s(g) = 1\)。
Chap.2 Subgroups
揭示某种数学对象的结构的基本手段是研究其满足相同公理的子集。
2.1 Definition and Examples
子群 subgroup
称 \(G\) 的子集 \(H\) 是 \(G\) 的 子群，若 \(H\) 非空且在乘积和逆元下封闭，记作 \(H\leq G\)。\(H < G\) 强调 \(H\neq G\)。
Exps.
(1) 在加法下，\(\Z\leq \Q\)，\(\Q\leq \R\)。
(2) \(\{1, r, \cdots, r ^ {n - 1}\} \leq D_{2n}\)。
(3) \((\Q - \{0\}, \times)\) 不是 \((\R, +)\) 的子群。
(4) \(D_6\leq D_{12}\)？
群判定是一项繁琐的工作，因为需要检查群公理，尤其是结合律。但子群判定只需要检查乘积和逆的封闭性。
子群具有 传递性 transitive：若 \(K\leq H\) 且 \(H\leq G\)，则 \(K\leq G\)。特别地，若 \(K, H\leq G\) 且 \(K\subseteq H\)，则 \(K\leq H\)。
Proposition 2.1: the subgroup criterion
\(G\) 的子集 \(H\) 是 \(G\) 的子群当且仅当 \(H\neq \varnothing\) 且 \(\forall x, y \in H : xy ^ {-1}\in H\)。
Proof
\(\forall x, y\in H : xx ^ {-1} = 1,\ 1y ^ {-1} = y ^ {-1},\ x(y ^ {-1}) ^ {-1} = xy\)。
将乘积和求逆结合为一条限制。特别地，若 \(H\) 有限，则可以只检查 \(H\) 非空且乘积封闭，因为 \(x ^ {|x| - 1} = x ^ {-1}\)。
2.2 Centralizers and Normalizers, Stabilizers and Kernels
一些重要的基本概念的定义。设 \(A\) 是 \(G\) 的任意非空子集。
中心化子 centralizer
定义
为 \(A\) 在 \(G\) 中的 中心化子。
\(gag ^ {-1} = a\) 即 \(ga = ag\)。\(C_G(A)\) 是 \(G\) 中和 \(A\) 的所有元素交换的元素集合。
因为 \(xyay ^ {-1} x ^ {-1} = x(yay ^ {-1})x ^ {-1} = xax ^ {-1} = a\) 且 \(gag ^ {-1} =a\implies a = g ^ {-1}ag\)，所以 \(C_G(A)\leq G\)。
中心 center
定义
为 \(G\) 的 中心。
\(Z(G)\) 是 \(G\) 中和 \(G\) 的所有元素交换的元素集合。
因为 \(Z(G) = C_G(G)\)，所以 \(Z(G)\leq G\)。
正规化子 normalizer
定义 \(gAg ^ {-1} = \{gag ^ {-1} \mid a\in A\}\)。由消去律可知 \(|A| = |gAg ^ {-1}|\)。
定义
为 \(A\) 在 \(G\) 中的 正规化子。
\(gAg ^ {-1} = A\) 即存在 \(a'\in A\) 使得 \(ga = a'g\)。\(N_G(A)\) 是 \(G\) 中和 \(A\) 交换的元素集合。因为和 \(A\) 的所有元素交换则和 \(A\) 交换，所以 \(C_G(A)\subseteq N_G(A)\)。中心化子的条件强于正规化子。
因为 \(xyay ^ {-1}x ^ {-1} = xa'x ^ {-1} = a''\in A\) 且 \(gAg ^ {-1} = A \implies A = g ^ {-1}Ag\)（\(gAg ^ {-1}\to A\) 是双射），所以 \(N_G(A)\leq G\)。可知 \(C_G(A)\leq N_G(A)\)。
\(G\) 的每个元素和 \(A\) 交换是 \(G\) 可将 \(A\) 坍缩为 \(1\) 的充要条件，否则存在元素无法和单位元交换。\(A\) 可以作为商群的陪集当且仅当 \(N_G(A) = G\)，即 \(A\unlhd G\)。
Exps.
(1) 如果 \(G\) 是阿贝尔群，则对任意 \(A\subseteq G\)，\(G = Z(G) = C_G(A) = N_G(A)\)。
(2) 设 \(A = \{1, r, r ^ 2, r ^ 3\}\)。\(Z(D_8) = \{1, r ^ 2\}\)，\(C_{D_8}(A) = A\)，\(N_{D_8}(A) = D_8\)。
稳定子 stabilizer
令 \(G\) 作用在集合 \(S\) 上，定义
为 \(s\in S\) 的 稳定子。显然 \(G_s\leq G\)。
Exps.
(1) 令 \(D_8\) 作用在 \(\Omega = \{1, 2, 3, 4\}\) 上。\(G_1 = \{1, s\}\)。
(2) 令 \(D_8\) 作用在 \(\Omega = \{\{1, 3\}, \{2, 4\}\}\)，\(G_{\{1, 3\}} = \{1, s, r ^ 2, sr ^ 2\}\)。
核 kernel
定义
为群作用的 核，它是所有 \(G_s\) 的交。核也是 \(G\) 的子群。
稳定化子，正规化子和中心是子群是稳定子与核是子群的特例。
设 \(S = \mathcal{P}(G)\) 表示 \(G\) 的所有子集构成的集合。定义 \(G\) 在 \(S\) 上的 共轭作用 conjugation 为 \(\forall B\subseteq G : B\mps gBg ^ {-1}\)。\(N_G(A)\) 是 \(A\) 的稳定子，所以 \(N_G(A)\leq G\)。
设 \(S = A\)，考虑 \(N_G(A)\) 在 \(A\) 上的共轭作用，即 \(\forall a\in A : a\mps gag ^ {-1}\)（由 \(N_G(A)\) 的定义，这确实是一个群作用）。\(C_G(A)\) 是作用的核，所以 \(C_G(A)\leq N_G(A)\)。
考虑 \(G\) 在自身上的共轭作用。\(Z(G)\) 是作用的核，所以 \(Z(G)\leq G\)。
2.3 Cyclic Groups and Cyclic Subgroups
最熟悉的一集。
循环群 cyclic group
\(H\) 称为 循环群，若 \(H\) 仅由一个元素生成。即
其中 \(|x|\) 决定了 \(H\) 的大小。
OI 最常涉及到的循环群是模 \(p\) 意义下的加法群 \(\Z / n\Z\)，它可以看成加性群 \(\an {1 \mid p1 = 0}\)。
Proposition 2.2
若 \(H = \an {x}\)，则 \(|H| = |x|\)。具体地：
(1) 若 \(|H| = n < \infty\)，则 \(x ^ n = 1\) 且 \(1 = x ^ 0, x ^ 1, x ^ 2, \cdots, x ^ {n - 1}\in H\) 互不相同。
(2) 若 \(|H| = \infty\)，则不存在 \(n\in \Z\backslash \{0\}\) 使得 \(x ^ n = 1\)，且 \(\forall a\neq b\in \Z : x ^ a \neq x ^ b\)。
Proposition 2.3
对群 \(G\) 的任意元素 \(x\)，若 \(x ^ m = x ^ n = 1\)，则 \(x ^ {\gcd(n, m)} = 1\)。特别地，若 \(x ^ m = 1\)，则 \(|x| \mid m\)。其中 \(n, m\in \Z\)。
Proof
Bezout 定理。
注意 \(G\) 不需要是循环群。
Proposition 2.4
阶相同的循环群同构。
记 \(Z_n\) 表示 \(n\) 阶循环群。\(Z_n\) 强调乘法，\(\Z / n\Z\) 强调加法。
接下来刻画每个元素的阶。
Proposition 2.5
令 \(x\in G\)，\(a \in \Z - \{0\}\)。
(1) 若 \(|x| = \infty\)，则 \(|x ^ a| = \infty\)。
(2) 若 \(|x| = n < \infty\)，则 \(|x ^ a| = \fr {n} {\gcd(n, a)}\)。
(3) 特别地，若 \(|x| = n < \infty\) 且 \(a\mid n\)，则 \(|x ^ a| = \fr n a\)。
Proof
(2)：设 \(d = \gcd(n, a)\)，\(n = db\)，\(a = dc\)，\(y = x ^ a\)，则 \(b\perp c\)，需要证明 \(|y| = b\)。一方面
\[y ^ b = x ^ {ab} = x ^ {dcb} = (x ^ n) ^ c = 1 \implies |y| \mid b. \]另一方面
\[y ^ {|y|} = 1 \implies x ^ {dc|y|} = 1 \implies n\mid dc|y| \implies b\mid c|y| \stackrel {b\perp c}{\implies} b\mid |y|. \]所以 \(|y| = b\)。
相当于求最小的 \(k\) 使得 \(n\mid ka\)，即 \(k = \fr {n} {\gcd(n, a)}\)。
和数论中的阶一模一样！它们完全是同一个概念。
Proposition 2.6
令 \(H = \an {x}\)。
(1) 若 \(|x| = \infty\)，则 \(H = \an {x ^ a}\) 当且仅当 \(a = \pm 1\)。
(2) 若 \(|x| = n < \infty\)，则 \(H = \an {x ^ a}\) 当且仅当 \(a\perp n\)。这样的 \(a\) 的数量为 \(\ph(n)\)。
Proposition 2.7
令 \(H = \an {x}\)。
(1) \(H\) 的所有子群都是循环群。若 \(K\leq H\)，则 \(K = 1\) 或 \(\an {x ^ d}\)，其中 \(d\) 是最小的正整数使得 \(x ^ d\in K\)。
(2) 若 \(|H| = \infty\)，则对任意两个不同的非负整数 \(a, b\)，\(\an {x ^ a}\neq \an {x ^ b}\)。\(\an {x ^ m} = \an {x ^ {|m|}}\)。
(3) 若 \(|H| = n < \infty\)，则对 \(n\) 的每个正因数 \(a\)，都存在 \(a\) 阶循环子群 \(\an {x ^ d}\)，其中 \(d = \fr n a\)。对所有整数 \(m\)，\(\an {x ^ m} = \an {x ^ {\gcd (n, m)}}\)，所以 \(H\) 的子群和 \(n\) 的正因数一一对应。
一些情况下有限群和无限群需要分开考虑。
2.4 Subgroups Generated by Subsets of a Group
给定集合 \(A \subseteq G\)，包含 \(A\) 的最小子群是什么样的？
Proposition 2.8
如果 \(\mathcal A\) 是 \(G\) 的子群集合，那么 \(\mathcal A\) 的所有元素的交也是子群。
集合的生成子群 subgroup generated by subset
令 \(A\) 是 \(G\) 的任意子集，定义 \(\an {A}\) 为 \(G\) 的所有包含 \(A\) 的子群的交，即
称为 由 \(A\) 生成的 \(G\) 的子群。
当 \(A\) 是有限集 $ {a_1, a_2, \cdots, a_k}$ 时，也写作
记
定义
即 \(A\) 及其逆元的有限乘积集合。
实际上 \(\ov A\) 更符合 “生成” 的观念，前一种定义保证了 \(A\) 的生成子群的存在和唯一性。
Proposition 2.9
\[\ov A = \an {A}. \]Proof
首先有 \(\ov A\leq G\)。
由 \(A\subseteq \ov A\) 知 \(\ov A \in \mathcal {A}\)，再由 \(\an {A}\) 的定义知 \(\an {A}\subseteq \ov A\)。
又因为 \(A\subseteq \an {A}\) 且 \(\an {A}\) 是群，所以 \(\ov A\) 的任何元素属于 \(\an {A}\)，即 \(\ov A \subseteq \an{A}\)。
生成子群的阶
合并相邻相同的元素，
对阿贝尔群 \(G\)，因为相邻元素交换，所以当 \(A\) 是有限集 \(\{a_1, a_2, \cdots, a_k\}\) 时，有
进一步地，当 \(|a_i| = d_i < \infty\) 时，\(|\an {A}| \leq d_1 d_2 \cdots d_k\)。
若 \(G\) 不是阿贝尔群，情况复杂得多。
对于 \(G = GL_2(\R)\)，\(a = \bpm 0 & 1 \\ 1 & 0 \epm\)，\(b = \bpm 0 & 2 \\ \fr 1 2 & 0 \epm\)，有 \(a ^ 2 = b ^ 2 = 1\) 但 \(ab = \bpm \fr 1 2 & 0 \\ 0 & 2 \epm\)，\(|ab| = \infty\)，所以 \(\an {a, b}\) 是由两个阶为 \(2\) 的群生成的无限群。
2.5 The Lattice of Subgroups of a Group
一种可视化有限群子群关系的结构。
格 lattice
用以下方法构建有限群 \(G\) 的子群的 格。
(1) 写下所有子群，\(1\) 在底部，\(G\) 在顶部。大致地，阶更大的子群位置更高。
(2) 若 \(A < B\) 且 \(A, B\) 之间没有其它子群 \(A < C < B\)，则从 \(A\) 向上到 \(B\) 连线。
最终形成从 \(1\) 到 \(G\) 的有向无环图，\(A\leq B\) 当且仅当存在从 \(A\) 向上到 \(B\) 的一条路径。
下图是 \(Z_2, Z_4\) 和 \(Z_8\) 的格。
下图是 \(Z_6\) 和 \(Z_{12}\) 的格。
下图是 \(D_8\) 的格。
下图是 \(D_{16}\) 的格，它不是平面图。
从格图可以直接读出若干子群的生成子群，也可以直接读出若干子群的交。
除了 \(Z_4\) 以外，唯一的 \(4\) 阶群是 Klein-4 群 \(V_4\)。
子格 sublattice
大多数群的格比较复杂。只关心特定子群时，可以只画出相关部分，称为 子格。
有点类似 OI 中的虚树。
下图是 \(D_{16}\) 的一个子格。
Chap.3 Quotient Groups and Homomorphisms
商群是另一种构造子结构的方式。商群的格在格图顶部，子群的格在格图底部。
3.1 Definition and Examples
纤维 fibre
对于映射 \(\ph : G\to H\)，称单个元素 \(a\in \ph(H)\) 的 纤维 为其原像 \(\ph ^ {-1}(a) = \{g\in G \mid \ph(g) = a\}\)。纤维是原像的特殊情况，旨在强调取原像的集合为单个元素。
回忆同态的定义：\(\ph(a)\ph(b) = \ph(ab)\)，其中 \(\ph\) 是 \(G\to H\) 的同态。考虑到 \(\ph(G)\leq H\)，所以对所有 \(a\in \ph(G)\)，\(a\) 的纤维 \(\ph ^ {-1}(a)\)（以下记为 \(X_a\)）也构成了一个群，满足运算 \(X_aX_b = X_{ab}\)。
上图中，\(\ph\) 将 \(G\) 的一条竖线（纤维）打到 \(H\) 上的一点，表示将 \(G\) 的若干元素映射到 \(H\) 的某个元素。
核 kernel
对于同态 \(\ph : G\to H\)，称映射到 \(1\) 的元素集
为 \(\ph\) 的 核。
核就是坍缩为 \(1\) 的子群。
Proposition 3.1
令 \(\ph\) 是 \(G\to H\) 的同态。
(1) \(\ph(1_G) = 1_H\)。
(2) \(\ph(g ^ n) = \ph(g) ^ n,\ \forall n\in \Z\)。
(3) \(\ker \ph \leq G\)。
(4) \(\mathrm {im}(\ph)\leq H\)，\(\mathrm{im}(\ph)\) 即 \(G\) 在 \(\ph\) 下的像。
Exps.
设 \(G = \Z\)，\(H = Z_n = \an{x}\)。定义 \(\ph : G\to H\)，其中 \(\ph(a) = x ^ a\)。
容易验证 \(\ph\) 是同态。\(\ker \ph = n\Z\)。
\[\ph ^ {-1} (a) = \{m \in \Z \mid m\equiv a\pmod n\} = \ov a. \]\[\Z / n\Z \cong Z_n . \]
商群 quotient group
设同态 \(\ph : G\to H\) 的核为 \(K = \ker \ph\)。商群 \(G / K\)（读作 \(G\) 模 \(K\)）的元素是所有纤维 \(X_a\)，对应的二元运算为
商群的元素是 \(G\) 的元素的集合，而非 \(G\) 的单个元素。
记号强调了 \(K\) 在 \(G / K\) 中是单个元素，以及其它元素仅仅是 \(K\) 的移动。因此 \(G / K\) 是由 \(G\) 将 \(K\) “除掉” 或 “坍缩” 形成的。这解释了为什么 \(G / K\) 叫做 “商” 群。
目前，商群需要明确地表示出 \(\ph\)，因为纤维的运算和 \(H\) 有关。我们需要一种方式仅由 \(G\) 和 \(K\) 就能确定商群。这需要接下来的讨论。
Proposition 3.2
设同态 \(\ph : G\to H\) 的核为 \(K = \ker \ph\)。设 \(X\in G / K\) 为 \(a\) 的纤维，则
(1) 对任意 \(u\in X\)，\(X = \{uk\mid k\in K\}\)。
(2) 对任意 \(u\in X\)，\(X = \{ku \mid k\in K\}\)。
Proof
(1)：对任意 \(k\in K\)，\(\ph(uk) = \ph(u)\ph(k) = a1 = a\)，所以 \(uk\in X\)。对任意 \(g\in X\)，\(\ph(u ^ {-1}g) = \ph(u) ^ {-1}\ph(g) = 1\)，于是 \(u ^ {-1}g\in \ker \ph\)，即 \(g = u(u ^ {-1}g) \in uK\)。
一个纤维由 \(K\) 的所有元素同时左乘或同时右乘 \(X\) 中的任意相同元素得到。
所有模 \(n\) 为 \(r\) 的数可由所有 \(n\) 的倍数同时加上任何一个相同的模 \(n\) 为 \(r\) 的数得到。这是 \(\Z / n\Z\)。
由结论 3.2 引出以下定义。
陪集 left coset & right coset
对任意 \(N\leq G\) 和 \(g\in G\)，定义
分别为 \(N\) 在 \(G\) 中的一个 左陪集 和 右陪集。陪集的任何元素称为陪集的一个 代表元 representative。
由消去律可知 \(N\) 和 \(gN, Ng\) 的大小相同。
\(N\) 在左边乘上 \(g\) 就是左乘，对应左陪集。
结论 3.2 在纤维和左陪集（对右陪集同理）之间建立了双射，每个纤维唯一确定了一个陪集 \(uK\)，其中 \(u\) 是 \(X\) 的任意元素。同时，每个陪集 \(uK\) 也唯一确定了一个纤维 \(X_{\ph(u)}\)，因为对于 \(u\neq v\)，如果 \(uK = vK\)，那么 \(X_{\ph(u)} = uK = vK = X_{\ph(v)}\)。因此，商群的元素是左陪集。
Theorem 3.3
设 \(K\) 为同态 \(\ph : G\to H\) 的核。\(K\) 在 \(G\) 中的左陪集的集合 \(\{uK\}\) 在运算
\[uK \circ vK = (uv)K \]下形成商群 \(G / K\)。特别地，运算良定义，即若 \(u, u_1\) 是 \(uK\) 的代表元，\(v, v_1\) 是 \(vK\) 的代表元，则 \((uv)K = (u_1v_1)K\)：相同的有序陪集二元组的运算结果唯一。
Proof
设 \(X_a, X_b, X_{ab}\in G / K\)。由结论 3.2，这些纤维都是左陪集。设 \(u, v\) 为 \(X_a, X_b\) 的任意代表元，则 \(\ph(uv) = \ph(u)\ph(v) = ab\)，即 \(uv\in X_{ab}\)，于是 \(X_{ab} = (uv)K\)。
下图体现了这一过程。
同时，我们证明对任意 \(z\in X_{ab}\)，存在 \(u\in X_a\) 和 \(v\in X_b\) 使得 \(z = uv\)。只需证明 \(u ^ {-1}z\in X_b\) 即可。
Exps.
(1) 若 \(\ph : G\to H\) 是同构，则 \(K = 1\)，\(G / 1 \cong G\)。
(2) \(\ph : G\to 1\) 为平凡同态，\(\ker \ph = G\)，\(G / G\cong 1\)。
(3) \(\ph : Q_8\to V_4\)，其中 \(\ph(\pm 1) = 1\)，\(\ph(\pm i) = a\)，\(\ph(\pm j) = b\)，\(\ph(\pm k) = c\)，则 \(\ker \ph = \{\pm 1\}\) 且 \(Q_8 / \ker \ph\cong V_4\)。
记号
在不混淆的情况下使用 \(\ov u\) 表示左陪集 \(uK\)。对于集合 \(S\subseteq G\)，\(\ov S\) 表示 \(S\) 的所有元素形成的左陪集集合 \(\{sK\mid s\in S\}\)，于是商群 \(G / K\) 可记为 \(\ov G\)。
这种记号强调了左陪集 \(uK\) 是 \(G / K\) 中的元素 \(\ov u\)。
自然地，我们会思考是否对所有子群 \(N\leq G\) 都能定义商群 \(G / N\)。事实上，\(N\) 的左陪集形成群结构当且仅当它是某个同态的核（结论 3.7）。这需要对陪集的进一步研究，并引出正规子群的概念，这一概念相当重要。
Proposition 3.4
设 \(N\leq G\)，则 \(N\) 的所有左陪集形成了 \(G\) 的划分。
\(uN = vN\) 当且仅当 \(v ^ {-1}u \in N\)，当且仅当它们是某个左陪集的代表元。
Proof
第一部分：因为 \(1\in N\)，所以 \(\bigcup_{g\in G} gN = G\)。
若 \(x \in uN \cap vN\)，则 \(x = un = vm,\ n, m\in N\)。于是 \(u = vmn ^ {-1} = vm_1,\ m_1\in N\)。于是对任意 \(t\in N\)，\(ut = v(m_1t)\in vN\)，即 \(uN\subseteq vN\)。同理 \(vN\subseteq uN\)。因此，若两个左陪集有交，则它们相等。
第二部分：由第一部分，\(uN = vN\) 当且仅当存在 \(n\in N\) 使得 \(u1 = v n\)，当且仅当 \(v ^ {-1}u = n\in N\)。\(\square\)
对于一般子群，不一定有 \(uN = Nu\)。
\(a\) 加上所有 \(n\) 的倍数等于 \(b\) 加上所有 \(n\) 的倍数，则 \(a, b\) 模 \(n\) 相同，即 \((-b) + a\) 是 \(n\) 的倍数，即 \((-b) + a \in N\)。
对于 \(N = \ker \ph\)（即 \(N\unlhd G\)），使用 \(Nu = Nv\) 可得 \(uv ^ {-1}\in N\)。
Proposition 3.5
设 \(N\leq G\)。
(1) \(uN \cdot vN = (uv)N\) 良定义当且仅当对任意 \(g\in G\) 和 \(n\in N\)，\(gng ^ {-1} \in N\)。
(2) 若上述运算良定义，则 \(N\) 的左陪集的集合形成群 \(G / N\)。
Proof
若运算良定义，则 \(1g ^ {-1}N = ng ^ {-1}N\)，于是 \(g ^ {-1}n_1 = ng ^ {-1}\cdot 1\)，即 \(gng ^ {-1} = n_1\in N\)。相反，设 \(u, u_1 = un\in uN\) 且 \(v, v_1 = vm \in vN\)，则
\[u_1v_1 = (un)(vm) = uv (v ^{-1}nv) m = uv(n_1m) = uvn_2 \in (uv)N, \]其中 \(v ^{-1} nv\in N\) 的原因是 \(gng ^ {-1}\in N\)。
\(gng ^ {-1}\) 本质上衡量了 \(n\) 被 \(g\) “带偏” 的程度，即先执行任意操作，再执行群里的某个操作，再执行最开始的操作的逆操作，会得到怎样的结果。如果操作依然在群里，说明这个群本身有比较好的性质。
更本质的原因是要求 \(gN = Ng\)，这样商群的单位元才交换。
满足结论 3.5 的条件的子群是一类性质比较好的子群。
共轭 conjugate
\(gng ^ {-1}\) 称为 \(n\) 关于 \(g\) 的 共轭。\(gNg ^ {-1} = \{gng ^ {-1} \mid n\in N\}\) 称为 \(N\) 关于 \(g\) 的 共轭。
称 \(g\) 正规化 normalize \(N\)，当且仅当 \(gNg ^ {-1} = N\)。
正规子群 normal subgroup
若 \(G\) 的所有元素均正规化 \(N\leq G\)，则称 \(N\) 是 \(G\) 的 正规子群，记作 \(n\unlhd G\)（\unlhd）。
\(G\) 的很多结构都在 \(G / N\) 中有所体现，如 \(G / N\) 的结合性由 \(G\) 的结合性得到，\(G / N\) 的逆元由 \(G\) 的逆元得到。
总结以上所有内容，得到如下定理。
Theorem 3.6
以下所有论述等价：
(1) \(N\unlhd G\)。
(2) \(N_G(N) = G\)。
(3) 对所有 \(g\in G\)，\(gN = Ng\)。
(4) 结论 3.5 描述的运算让 \(N\) 的左陪集集合成为群。
(5) 对所有 \(g\in G\)，\(gNg ^ {-1} \subseteq N\)。这等价于 \(gNg ^ {-1} = N\)，因为两个集合大小相等。前者只需验证单向包含关系。
Exps.
(1) \(N\leq Z(G) \implies N\unlhd G\)。
(2) \(Z(G) \unlhd G\)。
(3) \(Z(Q_8) = \an{-1} \unlhd Q_8\)。
(4) \(Z(D_8) = \an{r ^ 2}\)，\(D_8 / \an{r ^ 2}\cong V_4\)。
Proposition 3.7
\(N\unlhd G\) 当且仅当 \(N\) 是某个同态的核。
Proof
必要性：若 \(N\unlhd G\)，定义 \(\pi : G\to G / N\)，其中 \(\pi(g) = gN\)，则容易验证 \(\pi\) 是同态且 \(\ker \pi = N\)。
自然映射（自然同态） natrual projection, natrual homomorphism
上述定义的 \(\pi\) 称为 \(G\to G / N\) 的 自然映射 或 自然同态。若 \(\ov H\leq G / N\)，则 \(\ov H\) 在 \(G\) 中的完整原像即它在 \(\pi\) 下的原像。
现在我们有不借助外部因素，仅凭 \(G\) 自身的结构就能判断 \(N\leq G\) 是否为某个同态的核的方法：\(N_G(N) = G\)。正规化子衡量了 \(N\) 接近 \(G\) 的正规子群的程度。正规性描述了 \(N\) 和 \(G\) 的关系而非 \(N\) 本身的结构，\(G\) 的正规子群未必是包含 \(G\) 的群的正规子群。更进一步地，正规性没有传递性。
3.2 More on Cosets and Lagrange's Theorem
由结论 3.4（陪集是划分）可知 \(|G|\) 一定是 \(|H|,\ H\leq G\) 的倍数。
Theorem 3.8 (Largange's theorem)
对有限群 \(G\) 及其子群 \(H\)，\(|H| \mid |G|\) 且 \(H\) 在 \(G\) 中的左陪集数量为 \(\fr {|G|} {|H|}\)。
指标 index
若 \(H\leq G\)，称 \(H\) 在 \(G\) 中的 指标 为 \(H\) 在 \(G\) 中左陪集的数量，记为 \(|G : H|\)。
记号主要用于 \(G\) 可以是无限群的情况。若 \(G\) 是有限群，则 \(|G : H| = \fr {|G|} {|H|}\)。
Proposition 3.9
若 \(G\) 是有限群，则对 \(x\in G\)，\(|x| \mid |G|\)。特别地，\(x ^ {|G|} = 1\)。
由 \(|x| = |\an{x}|\) 和 Lagrange 定理得到。
Proposition 3.10
若 \(G\) 的阶是素数 \(p\)，则 \(G\cong Z_p\)。
Lagrange 定理的逆命题不成立：若 \(n\mid |G|\)，则 \(G\) 不一定有阶为 \(n\) 的子群。该命题有一些较弱的版本。其中，Sylow 定理是一个相当好用的工具。
Theorem 3.11 (Cauchy's theorem)
若有限群 \(G\) 的阶是素数 \(p\) 的倍数，则 \(G\) 存在阶为 \(p\) 的元素。
Theorem 3.12 (Sylow's theorem)
若有限群 \(G\) 的阶为 \(p ^ \a m\)，其中 \(p\) 是质数且 \(p\perp m\)，则 \(G\) 存在阶为 \(p ^ \a\) 的子群。
将在下一章节深入研究该定理（定理 4.18）。
子群复合 composition of subgroup
设 \(H, K\leq G\)，定义 \(H, K\) 的复合
注意：复合的顺序不可交换，\(HK\) 不一定是子群。
Proposition 3.13
若 \(H, K\) 是某个群的有限子群，则
\[|HK| = \fr {|H||K|} {|H\cap K|}. \]Proof
因为 \(HK = \bigcup_{h\in H} hK\)，由结论 3.4，
\[h_1K = h_2K\iff h_2h_1 ^ {-1}\in K\iff h_2h_1 ^ {-1}\in H\cap K \iff h_1(H\cap K) = h_2(H\cap K). \]因为 \(H\cap K \leq H\)，由 Lagrange 定理，\(H\cap K\) 在 \(H\) 中左陪集的数量为 \(\fr {|H|} {|H\cap K|}\)，于是 \(K\) 在 \(HK\) 中左陪集的数量为 \(\fr {|H|} {|H\cap K|}\)。\(\square\)
Proposition 3.14
若 \(H, K\) 是某个群的子群，则 \(HK\) 是子群当且仅当 \(HK = KH\)。
注意：\(HK = KH\) 并不意味着 \(kh = hk\)。它的意思是 \(kh = h'k'\)。
若 \(HK\neq KH\)，那么 \(H(KH)\) 会出现 \(HK\) 没有的元素。
若 \(HK = KH\)，那么 \(HKHK = HHKK = HK\)，即 \(HK\) 关于运算封闭。
Proposition 3.15
若 \(H, K\leq G\) 且 \(H\leq N_G(K)\)，则 \(HK\leq G\)。特别地，若 \(K\unlhd G\)，则对任意 \(H\leq G\)，\(HK\leq G\)。
结论 3.14 的简单推论：\(HK = KH\impliedby hK = Kh \iff hKh ^ {-1} = K\)。
整个小节一直在探讨左陪集的性质。对于右陪集，有类似结论。课上还讲了 Fermat 小定理和 Euler 定理（Exercise 3.2.16 和 3.2.22），因为太简单就跳过了。
3.3 The Isomorphism Theorems
群论的重中之重，3.1 和 3.2 小节的精华。
Theorem 3.16 (the first, fundamental isomorphism theorem)
若 \(\ph : G\to H\) 是同态，则 \(\ker \ph\unlhd G\) 且 \(G / \ker \ph\cong \ph(G)\)。
同态基本定理，用于构造同态证明同构。是像同构于纤维，纤维同构于正规子群陪集集合的自然推论。
Corollary 3.17
若 \(\ph : G\to H\) 是同态，则
(1) \(\ph\) 是单射当且仅当 \(\ker \ph = 1\)。
(2) \(|G : \ker \ph| = |\ph(G)|\)。
线性代数中的 \(\dim V = \operatorname{rank} \ph + \operatorname {null} \ph\)，其中 \(\ph : V\to W\) 是向量空间的线性变换。
Theorem 3.18 (the second, diamond isomorphism theorem)
若 \(A, B\leq G\) 且 \(A\leq N_G(B)\)，则 \(AB\leq G\)，\(B\unlhd AB\)，\(A\cap B \unlhd A\) 且 \(AB / B\cong A / A\cap B\)。
Proof
因为 \(A\leq N_G(B)\) 且 \(B\leq N_G(B)\)，所以 \(AB\leq G\) 且 \(AB\leq N_G(B)\)，于是 \(B\unlhd AB\)。
构造同态 \(\ph : A\to AB / B\)，其中 \(\ph(a) = aB\)。根据 \(AB\) 的定义可知 \(\ph\) 是满射（\(\ov {ab} = abB = aB\)）。因为 \(\ker \ph = \{a\in A \mid aB = 1B\} = A\cap B\)，根据第一同构定理，\(A\cap B\unlhd A\) 且 \(A / A\cap B \cong AB / B\)。\(\square\)
\(A, B, A\cap B\) 和 \(AB\) 的子格形成菱形，其中 \(AB\) 在顶部，\(A, B\) 分别在两侧，\(A\cap B\) 在底部。\(AB\) 和 \(B\) 以及 \(A\) 和 \(A\cap B\) 两条平行边对应的商群同构。也可理解为将 \(AB\) 和 \(B\) 分别交 \(A\) 得到 \(A\) 和 \(A\cap B\)。
Theorem 3.19 (the third isomorphism theorem)
若 \(H, K\unlhd G\) 且 \(H\leq K\)，则 \(K / H\unlhd G / H\) 且 \((G / H) / (K / H)\cong G / K\)，即 \(\ov G / \ov K \cong G / K\)。
Proof
因为 \(N_G(H) = G\)，所以 \(N_K(H) = K\)，即 \(H\unlhd K\)。构造 \(\ph : G/H\to G / K\)，其中 \(\ph(gH) = gK\)。验证 \(\ph\) 良定义且满射，以及 \(\ker \ph = K / H\)，使用第一同构定理即可。\(\square\)
商群的商群不会给出更多结构信息。
Theorem 3.20 (the fourth, lattice isomorphism theorem)
若 \(N\unlhd G\)，则对所有 \(N\leq A\)，\(\ov A = A / N\leq G / N\) 和 \(A\leq G\) 之间存在保持结构的双射。对任意 \(N\leq A, B\leq G\)：
(1) \(A\leq B \iff \ov A \leq \ov B\)。
(2) \(A\leq B \implies |B : A| = |\ov B : \ov A|\)。
(3) \(\ov {\an {A, B}} = \an {\ov A, \ov B}\)。
(4) \(\ov {A\cap B} = \ov A\cap \ov B\)。
(5) \(A\unlhd G \iff \ov A\unlhd \ov G\)。
即 \(G / N\) 和所有 \(N\leq A \leq G\) 形成的结构完全相同。
第四同构定理描述了 \(G / N\) 的格图和所有包含 \(N\) 的 \(G\) 的子群的格图的关系（名称中 Lattice 的由来），即在 \(G\) 的格图上令 \(N\) 坍缩成 \(1\)，只保留 \(N\) 的 “祖先”，则新的格图和 \(G / N\) 的格图完全相同。
商群的格图在顶部。
可以发现，第四同构定理是第三同构定理的推广。
仅凭 \(G / N\) 和 \(N\) 无法确定 \(G\) 的结构。如 \(Q_8 / \an {-1} \cong D_8 / \an {r ^ 2}\) 且 \(\an {-1} \cong \an {r ^ 2}\)，但 \(Q_8\) 和 \(D_8\) 不同构。
3.4 Composition Series and The Holder Program
通过 \(G\) 的非平凡正规子群 \(N\)（\(N\neq 1, G\)），在 \(N\) 和 \(G / N\) 上关于 \(|G|\) 使用数学归纳法是有限群论的强力证明手段之一。
Proposition 3.21
若 \(G\) 是有限阿贝尔群且质数 \(p\mid |G|\)，则 \(G\) 含有阶为 \(p\) 的元素。
Proof
对 \(|G|\) 做数学归纳法。若 \(|G| = p\) 则命题成立，否则若 \(p\mid |x|\) 则命题成立，否则因为 \(G\) 是阿贝尔群，所以 \(N = \an {x} \unlhd G\)。因为 \(p\nmid |N|\)，所以 \(p\mid |G / N| < |G|\)。由归纳法，存在 \(\ov y\in G / N\) 满足 \(|\ov y| = p\)。由 \(y\notin N\) 和 \(y ^ p\in N\) 可知 \(|y ^ p| < |y|\)，于是 \(p\mid |y|\)，回到第二种情况。
Cauchy 定理的弱化版本。
归纳法可行的必要条件是 \(G\) 存在非平凡的正规子群。因此，研究哪些群存在非平凡正规子群是重要的。
简单群 simple group
若 \(|G| > 1\) 且 \(G\) 的正规子群只有 \(1\) 和 \(G\)，则称 \(G\) 是 简单群，简称单群。
所有简单阿贝尔群同构于 \(Z_p\)，其中 \(p\) 是质数。最小的非阿贝尔简单群的阶为 \(60\)（\(A_5\)）。
简单群在群论里的地位就像质数在代数中的地位。关于代数，有算数基本定理。群论也有类似定理。这需要以下概念。
合成列与合成因子 composition series and composition factor
若一列群
满足 \(N_i\unlhd N_{i + 1}\) 且 \(N_{i + 1} / N_i\) 是简单群，则称该序列为 \(G\) 的 合成列。商群 \(N_{i + 1} / N_i\) 称为 \(G\) 的 合成因子。
注意：不要求 \(N_i\unlhd G\)，只要求 \(N_i\unlhd N_{i + 1}\)。正规子群没有传递性。
Theorem 3.22 (Jordan-Holder)
若有限群 \(G\neq 1\)，则
(1) 存在 \(G\) 的合成列。
(2) 合成因子的可重集唯一。
Holder 计划 the Holder program 是一个在同构意义下的群分类计划，分成两个部分：
(1) 将所有简单群分类。
(2) 找到所有组合简单群以得到其它群的方式。
第二部分相当困难。关于第一部分，有以下定理。
有限单群分类定理：存在 \(18\) 类无限大的单群集合，以及 \(26\) 个不属于这些类的 散在单群 the sporadic simple group，使得所有单群均和其中之一同构。
Feit-Thompson theorem
若 \(G\) 是阶为奇数的单群，则 \(G\cong Z_p\)，其中 \(p\) 是质数。
可解群 solvable group
若存在
满足 \(G_{i + 1} / G_i\) 是阿贝尔群，则称 \(G\) 是 可解 的。
Theorem
有限群 \(G\) 可解当且仅当对所有 \(|G|\) 的因数 \(n\) 满足 \(n\perp \fr {|G|} n\)，\(G\) 存在阶为 \(n\) 的子群。
Proposition
若 \(N\) 和 \(G / N\) 可解，则 \(G\) 可解。
借助第三、第四同构定理证明即可。
3.5 Transpositions and the Alternating Group
对置换群的进一步研究。OIer 会比较熟悉。
换位 transposition
长度为 \(2\) 的环称为 换位。
将一个环表示成若干换位，则 \(S_n\) 的每个元素都是换位的乘积。
考虑多项式 \(\D = \prod_{i < j} (x_i - x_j)\)。对所有 \(\s \in S_n\)，设 \(\s(\D) = \prod_{i < j} (x_{\s(i)} - x_{\s(j)})\)。对所有 \(i < j\)，\(x_i - x_j\) 或 \(x_j - x_i\) 恰好出现一个，所以 \(\s(\D) = \pm \D\)。定义 \(\epsilon(\s) = \fr {\s(\D)} {\D}\)。
置换的奇偶性 odd & even permutation
\(\epsilon(\s)\) 称为置换 \(\s\) 的 符号 sign。
若 \(\epsilon(\s) = 1\)，则 \(\s\) 称为 偶置换。若 \(\epsilon(\s) = -1\)，则 \(\s\) 称为 奇置换。
Proposition 3.23
\(\epsilon : S_n \to \{\pm 1\}\cong Z_2\) 是同态。
证明即根据定义展开。
Proposition 3.24
\(\epsilon((i\; j)) = -1\) 且 \(\epsilon\) 是满射。
Proof
设 \(\la = (1\; i)(2\; j)\)，则 \((i\; j) = \la (1\; 2) \la\)。因为 \(\epsilon((1\; 2)) = -1\)，所以 \(\epsilon((i\; j)) = \epsilon(\la)\epsilon((1\; 2)\epsilon(\la) =-1\)。于是 \(\epsilon\) 是满射。
交错群 alternating grouop
\(\ker \epsilon\) 称为 \(n\) 阶 交错群，即所有偶置换构成的群，记为 \(A_n\)。
由 \(\epsilon\) 是同态，\(\s\) 是偶置换当且仅当它是偶数个换位的乘积。而长度为 \(m\) 的环可以分解为 \(m - 1\) 个换位的乘积，所以有以下结论。
Proposition 3.25
\(\s\) 是奇置换当且仅当其长度为偶数的环的个数为奇数。
考虑排列的奇偶性，容易证明 \(A_n\unlhd S_n\)。
Chap.4 Group Actions
本章节进一步研究群作用在集合以及它自身上导出的性质。
4.1 Group Actions and Permutation Representation
回忆：群作用和群作用的排列表示。
令 \(G\) 作用在集合 \(A\) 上，则 \(\ph : G\to S_A\) 是同态，其中 \(\ph(g) = \s_g\)，\(\s_g(a) = g\cdot a\)。单个元素 \(g\in G\) 作用在 \(A\) 上是 \(A\) 的排列，因为作用存在逆元 \(g ^ {-1}\)，即作用是双射。
核、稳定子与忠实作用 kernel, stabilizer and faithful action
(1) 作用的 核 是以平凡的方式作用在 \(A\) 上（\(g\cdot a = a,\ \forall a\in A\)）的元素集合。等价于 \(\ker\ph\)。
(2) 对 \(a\in A\)，\(a\) 的 稳定子 是保持 \(a\) 不动的元素集合 \(\{g\in G\mid g\cdot a = a\}\)。
(3) 称群作用是 忠实的，若它的核是单位元。由第一同构定理（推论 3.17），\(\ph(G)\) 是单射，即所有元素作用于 \(A\) 的方式都不一样。
- 两个元素以相同的方式作用在 \(A\) 上，当且仅当它们属于核的相同陪集。
- \(\ker \ph = \bigcap_{a\in A} G_a\)。
给定 \(G\to S_A\) 的任意同态 \(\ph\)，可以构造群作用 \(g\cdot a = \ph(g)(a)\)。群作用的核是 \(\ker \ph\)，群作用的排列表示是 \(\ph\)。
Proposition 4.1
对于群 \(G\) 和非空集合 \(A\)，\(G\) 在 \(A\) 上的作用和 \(G\to S_A\) 的同态一一对应。
群的排列表示 permutation representation
群 \(G\) 的 排列表示 为任何 \(G\to S_A\) 的同态，其中 \(A\) 是非空集合。称特定的 \(G\) 在 \(A\) 上的群作用 导出 afford (or induce) 了对应的排列表示。
群作用的排列表示，类比线性变换的矩阵表示。
Proposition 4.2
令 \(G\) 作用在非空集合 \(A\) 上。定义 \(A\) 上的关系 \(a\sim b\) 当且仅当存在 \(g\in G\) 使得 \(a = g \cdot b\)，则 \(\sim\) 是等价关系，且包含 \(a\) 的等价类大小为 \(|G : G_a|\)，\(G_a\) 在 \(G\) 中的下标。
Proof
等价关系的证明是显然的（自反性，对称性，传递性）。
设包含 \(a\) 的等价类为 \(\al C_a\)，则 \(\al C_a = \{g \cdot a\mid g\in G\}\)。
定义 \(\al C_a\) 到 \(G_a\) 左陪集集合的映射 \(\ph : g \cdot a\mps gG_a\)。这个映射是良定义的，因为 \(g\cdot a = h\cdot a\) 当且仅当 \((h ^ {-1}g)a = a\)，当且仅当 \(h ^ {-1}g\in G_a\) 当且仅当 \(gG_a = hG_a\)。
显然 \(\ph\) 是双射，所以 \(|\al C_a|\) 等于 \(G_a\) 陪集集合的大小 \(|G : G_a|\)。\(\square\)
我们所熟知的 轨道-稳定子定理。
轨道与传递作用 orbit and transitive action
令 \(G\) 作用在非空集合 \(A\) 上。
(1) 等价类 \(\{g\cdot a\mid g\in G\}\) 称为 \(a\) 在 \(G\) 中的 轨道。
(2) 称作用是 传递 的，若仅有一个轨道。即对任意 \(a, b\in A\)，存在 \(g\in G\) 使得 \(a = g\cdot b\)。
Exps.
(i) 如果 \(G\) 是平凡作用，那么作用是传递的当且仅当 \(|A| = 1\)。
(ii) 传递作用的子群对应的作用不一定是传递作用。
置换群 permutation group
对称群的子群称为 置换群。
对称群的每个元素都有唯一的环分解，其中认为一个环和它的循环移位相等。
4.2 Groups Acting on Themselves by Left Multiplication —— Cayley's Theorem
群作用于自身是一种不需要外部集合而仅由 \(G\) 导出的作用。
作用于自身
考虑作用 \(G\times G\to G\)，其中 \(g\cdot a = ga\)，有对应的排列表示 \(\ph : G\to S_G\)。
将 \(G\) 的元素标号为 \(g_1, \cdots, g_n\)，使用 \(\s_g(i) = j\) 表示 \(gg_i = gg_j\)，即 \(\ph : G\to S_n\)。
容易证明作用是传递且忠实的。
作用于陪集集合
推广以上概念，考虑群 \(G\) 作用于它的子群 \(H\leq G\)。
设 \(A\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的所有左陪集。定义 \(G\) 在 \(A\) 上的作用，\(g \cdot aH = (ga)H\)。类似地，将 \(A\) 的元素标号，得到对应排列表示 \(\ph : G\to S_m\)，其中 \(m = |G : H|\)。
Theorem 4.3
令 \(G\) 作用在其子群 \(H\) 的左陪集集合 \(A\) 上，设 \(\pi_H\) 为对应排列表示，则
(1) 作用是传递的。
(2) \(1H\) 的稳定子是 \(H\)。
(3) \(\ker \pi_H = \bigcap_{x\in G} xHx ^ {-1}\)，且 \(\ker \pi_H\) 是 \(G\) 的最大的包含于 \(H\) 的正规子群。
Proof
(1) 和 (2) 据定义显然。
由定义，\(\ker \pi_H = \{g\in G\mid gxH = xH\}\)，而
\[gxH = xH \iff x ^ {-1}gx \in H \iff g \in xHx ^ {-1}, \]于是 \(g\in \bigcap_{x\in G} xHx ^ {-1}\subseteq 1H1 ^ {-1} = H\)，即 \(\ker \pi_H \leq H\)。由第一同构定理，\(\ker \pi_H \unlhd G\)。
假设 \(N\unlhd G\) 且 \(N\leq H\)，则 \(N = xNx ^ {-1}\leq xHx ^ {-1}\)，于是 \(N\leq \bigcap_{x\in G} xHx ^ {-1}\)。\(\square\)
一个子群的所有共轭的交是这个群的最大的包含于该子群的正规子群。由正规子群的定义 \(gNg ^ {-1} = N,\ \forall g\in G\) 容易看出这一点。
Corollary 4.4 (Cayley's theorem)
若 \(G\) 的阶为 \(n\)，则 \(G\) 和 \(S_n\) 的某个子群同构，即 \(G\) 同构于某个置换群。
Proof
令 \(H = 1\) 得到排列表示 \(\pi\)。根据定理 4.3，\(\ker \pi \leq H = 1\)，所以 \(G = G / \ker \pi\) 同构于它在 \(S_G\) 中的像。\(\square\)
定理的实用性不高，因为 \(S_n\) 太大了。
左正则表示 left regular representation
由 \(G\) 左作用于自身导出的排列表示称为 \(G\) 的 左正则表示。
在 \(G\) 的左正则表示中，\(\s_g\) 是 \(\fr {|G|} {|g|}\) 个长度为 \(|g|\) 的环，每个环都是 \(\an {x}\) 的右陪集。
Corollary 4.5
若有限群 \(G\) 的阶为 \(n\) 且 \(p\) 是 \(n\) 的最小质因子，则指标为 \(p\) 的子群是正规的。
注意：指标为 \(p\) 的子群不一定存在。
Proof
设 \(|G : H| = p\)。考虑 \(G\) 作用在 \(H\) 的左陪集集合 \(A\) 上，得到排列表示 \(\pi_H\)。设 \(K = \ker \pi_H\) 以及 \(k = |H : K|\)。
由第一同构定理，\(G / K\) 同构于 \(S_A\) 的子群，于是 \(pk\mid p!\)，即 \(k\mid (p - 1)!\)。但 \(p\) 是 \(n\) 的最小质因子，所以 \(k = 1\)，即 \(H = K\unlhd G\)。\(\square\)
4.3 Groups Acting on Themselves By Conjugation —— The Class Equation
研究 \(G\) 以共轭的方式作用于自身：\(g\cdot a = gag ^ {-1}\)。容易证明这是群作用。
共轭与共轭类 conjugate and conjugacy class
若存在 \(g\) 使得 \(b = gag ^ {-1}\)，即 \(a, b\) 属于相同轨道，则称 \(a, b\in G\) 在 \(G\) 中 共轭。\(G\) 在共轭作用下形成的轨道称为 共轭类。
Exps.
(i) 当 \(G\) 是阿贝尔群时，共轭作用是平凡作用。
(ii) 对 \(|G| > 1\)，作用不传递，因为 \(\{1\}\) 是一个共轭类。
\(G\) 的正规子群一定是若干共轭类的并。
推广至 \(G\) 的所有子集，考虑 \(G\) 作用在 \(\al P(G)\)（\(G\) 的所有子集的集合）上。若存在 \(g\) 使得 \(T = gSg^ {-1}\)，则称 \(S, T\subseteq G\) 在 \(G\) 中共轭。
由结论 4.2（轨道-稳定子定理），包含 \(S\) 的等价类大小为 \(|G : G_S|\)，其中 \(G_S = \{g\in G\mid gSg ^ {-1} = S\} = N_G(S)\)。
Proposition 4.6
\(S\) 在 \(G\) 中的共轭数量为 \(S\) 的正规化子的指标 \(|G : N_G(S)|\)。特别地，\(s\in G\) 在 \(G\) 中的共轭数量为 \(s\) 的中心化子的指标 \(|G : C_G(s)|\)。
将结论 4.6 应用于 \(G\) 共轭作用于自身，得到以下推论。
Theorem 4.7 (the class equation)
对有限群 \(G\)，设 \(g_1, g_2, \cdots, g_r\) 分别为不同共轭类的一个代表元，且不属于中心 \(Z(G)\)，则
\[|G| = |Z(G)| + \sum_{i = 1} ^ r |G : C_G(g_i)|. \]其中右侧的每一项都是 \(|G|\) 的因数，且和式里的每一项至少为 \(2\)，这限制了它们可能的取值。
给出两个类方程的重要推论：
Corollary 4.8
若 \(p\) 是质数且 \(|P| = p ^ \a\)，则 \(P\) 有非平凡的中心，即 \(Z(P) \neq 1\)。
Proof
对 \(g\notin Z(P)\)，\(|G : C_G(g_i)| > 1\)。由类方程，\(p\mid |Z(G)|\)。\(\square\)
Corollary 4.9
若 \(p\) 是质数且 \(|P| = p ^ 2\)，则 \(P\) 是阿贝尔群。\(P\) 同构于 \(Z_p\times Z_p\) 或 \(Z_{p ^ 2}\)。
接下来研究 \(S_n\) 中的共轭类。
Proposition 4.10
对于 \(\s, \tau\in S_n\)，若 \(\s\) 的环分解含 \((a_1 \; a_2 \; \cdots \; a_k)\)，则 \(\tau \s \tau ^ {-1}\) 的环分解含 \((\tau(a_1) \; \tau(a_2) \; \cdots\; \tau(a_k))\)。
Proof
若 \(\s(i) = j\)，则 \(\tau \s \tau ^ {-1}(\tau(i)) = \tau(j)\)，即若 \(i \to j\)，则经过作用后 \(\tau(i)\to \tau(j)\)。\(\square\)
由 \(\tau\) 是任意排列，可知：
Proposition 4.11
两个 \(S_n\) 的元素共轭当且仅当它们的环分解的环长可重集相等。\(S_n\) 的共轭类数量为 \(n\) 的划分数。
置换的环分解的环长可重集称为它的 环类型 cycle type。
由简单的组合知识，容易对给定的环类型计算其共轭类大小。
Theorem 4.12
\(A_5\) 是简单群。
4.4 Automorphisms
自同构即 \(G\) 和自身的同构关系，它揭示了 \(G\) 自身的对称性。
自同构 automorphism
\(G\) 到自身的同构映射称为 \(G\) 的 自同构。所有自同构的集合记作 \(\aut(G)\)。
\(\aut(G)\) 在映射复合运算下构成群，称为自同构群，其单位元是恒同映射。因为自同构是 \(G\) 的置换，所以 \(\aut(G) \leq S_G\)。
共轭作用提供了最重要的自同构映射之一。
Proposition 4.13
设 \(H\unlhd G\)，则 \(G\) 共轭作用于 \(H\) 是 \(H\) 的若干自同构。对于 \(g\in G\)，\(h\mps ghg ^ {-1}\) 是 \(H\) 的一个自同构。
这个作用的排列表示 \(\ph\) 是 \(G\to \aut(H)\) 的同态，作用的核是 \(C_G(H)\)。特别地，\(G / C_G(H)\) 同构于 \(\aut(H)\) 的某个子群。
Proof
\(g\) 共轭作用于 \(H\) 是 \(H\to H\) 的同态，因为 \(ghkg ^ {-1} = (ghg ^ {-1})(gkg ^ {-1})\)，由 \(gHg ^ {-1} = H\) 知该同态是自同构。若 \(g\in \ker \ph\)，则 \(g\) 是恒同映射，即 \(ghg^ {-1} = h\iff g\in C_G(H)\)。由第一同构定理知 \(G / C_G(H)\) 同构于 \(\aut(H)\) 的某个子群。\(\square\)
Corollary 4.14
若 \(K\leq G\) 且 \(g\in G\)，则 \(K\cong gKg ^ {-1}\)。
Proof
在 4.13 中令 \(G = H\)，则 \(gGg ^ {-1}\) 是 \(G\) 的自同构。\(\square\)
只需令 \(k\mps gkg ^ {-1}\) 即可。
Corollary 4.15
对任意 \(H\leq G\)，\(N_G(H) / C_G(H)\) 同构于 \(\aut(H)\) 的子群。特别地，\(G / Z(G)\) 同构于 \(\aut(G)\) 的子群。
结合 \(H\unlhd N_G(H)\) 与结论 4.13 即得。
内自同构 inner automorphism
对 \(g\in G\)，\(g\) 共轭作用于 \(G\) 得到的自同构称为 \(G\) 的 内自同构。\(\aut(G)\) 的由所有内自同构构成的子群记作 \(\inn(G)\)。
由结论 4.13，\(\inn (G) \cong G / Z(G)\)。
Exps.
(i) \(\inn(Q_8) \cong Z(Q_8) / \an{-1} \cong V_4\)。
(ii) \(\inn(D_8) \cong Z(Q_8) / \an{r ^ 2} \cong V_4\)。
\(g\) 共轭作用于 \(H\unlhd G\) 不一定是 \(H\) 的内自同构。
研究 \(G\) 如何共轭作用于正规子群 \(H\)，只需要考察正规子群 \(H\) 的自同构。这对研究半直积有帮助。
特征子群 characteristic subgroup
若 \(G\) 的所有自同构都将 \(H\leq G\) 映到自身，则称 \(H\) 在 \(G\) 中是 特征 的，\(H\) 是 \(G\) 的 特征子群，记作 \(H\cha G\)。
关于特征子群，有以下结论：
(1) 特征子群是正规子群。
(2) 若 \(H\) 是 \(G\) 唯一的大小为 \(|H|\) 的子群，则 \(H\) 是特征子群。
(3) 若 \(K\cha H\) 且 \(H\unlhd G\)，则 \(K\unlhd G\)。再次强调，正规子群没有传递性。
特征子群是 “强正规” 子群。正规子群要求在共轭作用（部分自同构）下不变，但特征子群要求在所有自同构下不变。
Proposition 4.16
\(\aut(Z_n)\cong (\Z / n\Z) ^ \times\)。
Proof
对于 \(\psi\in \aut(Z_n)\)，\(\psi(x) = x ^ a\)，记为 \(\psi_a\)，于是 \(|x| = |x ^ a| = n \implies a\perp n\)。相反，对每个 \(a\perp n\)，\(\psi(x)_a = x ^ a\) 都是 \(Z_n\) 的自同构。构造映射 \(\Psi : \aut(Z_n)\to (\Z / n\Z) ^ \times\)，其中 \(\psi_a\mps a\pmod n\)，证明 \(\Psi\) 是同构即可。\(\square\)
4.5 Sylow's Theorem
相当好用的定理，证明较复杂。
Sylow \(p\)-子群
设 \(p\) 是质数。
(1) 阶为 \(p ^ \a,\ \a \geq 1\) 的群称为 \(p\)-群。\(G\) 的 \(p\)-群子群称为 \(p\)-子群。
(2) 若 \(|G| = p ^ \a m\) 且 \(p\nmid m\)，则阶为 \(p ^ \a\) 的子群称为 Sylow \(p\)-子群。
(3) \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群的集合记作 \(\syl_p(G)\)，Sylow \(p\)-子群的个数记作 \(n_p(G)\)（或 \(n_p\)）。
Sylow 与否在于阶数是否包含了所有质因子 \(p\)。
Theorem 4.18 (Sylow's theorem)
设 \(|G| = p ^ \a m\) 且 \(p\nmid m\)，则
(1) Sylow \(p\)-子群存在，即 \(\syl_p(G)\neq \varnothing\)。
(2) 若 \(P\) 是 Sylow \(p\)-子群，\(Q\) 是 \(p\)-子群，则存在 \(g\in G\) 使得 \(Q\leq gPg ^ {-1}\)。任何两个 Sylow \(p\)-子群都是共轭的。结合推论 4.14，任何两个 Sylow \(p\)-子群同构。
(3) \(n_p\equiv 1\pmod p\) 且 \(n_p\mid m\)。
(3) 经常用于证明 \(n_p = 1\)。
Corollary 4.20
设 \(P\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p\)-子群，则以下命题等价：
(1) \(n_p = 1\)。
(2) \(P\unlhd G\)。
(3) \(P\cha G\)。
(4) 设 \(X\) 是阶为 \(p\) 的幂的元素的任意非空子集，则 \(\an {X}\) 是 \(p\)-子群。
Proof
(2) -> (1)：设 \(Q\in \syl_p(G)\)。由 Sylow 定理，存在 \(g\in G\) 使得 \(Q = gPg ^ {-1} = P\)。
(1) -> (4)：对任意 \(x\in X\)，因为 \(|x|\) 是 \(p\) 的幂，由 Sylow 定理，存在 \(g\in G\) 使得 \(x\in gPg ^ {-1} = P\)。因此 \(X\subseteq P\)。于是 \(X\) 是 \(p\)-子群。
(4) -> (1)：设 \(X\) 是所有 Sylow \(p\)-子群的并，则 \(P\subseteq\an{X}\) 是 \(p\)-子群。因为 \(P\) 是最大的 \(p\)-子群，\(\an{X} = P\)。\(\square\)
借助 Sylow 定理可以进行简单的群分类。
此外，5.2 的有限生成阿贝尔群基本定理和 5.5 的半直积相关定理是群分类的强力工具。
4.6 The Simplicity of An
Lemma 1
\[A_n = \an{(1\; 2\; 3), (1\; 2\; 4), \cdots} \]Proof
注意到 \(S_n = \an{(1\; 2), (1\; 3), \cdots}\) 且 \((1\; i)(1\; j) = (1 \; 2\; i)(1 \; 2\; j) ^ 2\)。
设 \(N\unlhd A_n\) 且 \(N\neq 1\)，只需要证明 \(N\) 含有三元环 \(\s\)，因为 \(\pi\s\pi ^ {-1}\in N\) 可以生成所有三元环。
Case 1
如果 \(\s\) 有 \(r \geq 4\) 元环 \(\pi_1\)，设 \(\ph = (1\; 2\; 3)\)，则
所以 \((1\; 2\; 4) = \ph \s \ph ^ {-1}\s ^ {-1} \in N\)。
Case 2
如果恰有两个三元环，设 \(\pi_1 = (1\; 2\; 3)\)，\(\pi_2 = (4\; 5\; 6)\)，设 \(\ph = (1\; 2\; 4)\)，则
由 Case 1 即证。
Case 3
如果恰有一个三元环，平方即可。
Case 4
如果所有环都是换位，设 \(\pi_1 = (1\; 2)\)，\(\pi_2 = (3\; 4)\)，\(\ph = (1\; 2\; 3)\)，则
设 \(\psi = (1\; 3\; 5)\)，则
Chap.5 Direct and Semidirect Products and Abelian Groups
直积和半直积是两种由小群构建大群的方式，也是将大群分解为小群乘积的方式。
有限生成阿贝尔群基本定理完全分类了所有有限阿贝尔群。
5.1 Direct Products
直积 direct product
\(G_1, \cdots, G_n\) 的 直积 \(G_1\times \cdots \times G_n\) 是有序 \(n\) 元组 \((g_1, \cdots, g_n)\) 的集合，满足
其中 \(\star_i\) 是 \(G_i\) 的二元运算，\(g_i, h_i\in G_i\)。
类似定义无穷多个群的直积。
因为无歧义，省略所有 \(\star\) 运算符。
Proposition 5.1
设 \(G = G_1 \times \cdots \times G_n\)，则 \(G\) 是群且 \(|G| = |G_1| \cdots |G_n|\)。
Proposition 5.2
设 \(G = G_1\times \cdots \times G_n\)，则
(1) \(G_i\cong \{(1, \cdots, 1, g_i, 1, \cdots, 1)\mid g_i\in G_i\}\)，其中 \(g_i\) 出现在第 \(i\) 个位置。使用 \(G_i\) 表示这个 \(G\) 的子群，则 \(G_i\unlhd G\) 且
\[G / G_i\cong G_1 \times \cdots \times G_{i - 1} \times G_{i + 1} \times \cdots \times G_n. \](2) 定义 \(\pi_i : G\to G_i\) 满足 \(\pi(g_1, \cdots, g_n)) = g_i\)，则 \(\pi_i\) 是满射同态且
\[\ker \pi_i \cong G_1\times \cdots \times G_{i - 1}\times G_{i + 1} \times \cdots\times G_n. \](3) 使用 (1) 的记号，对任意 \(x\in G_i\) 且 \(y\in G_j\)，若 \(i\neq j\)，则 \(xy = yx\)。
推广：对 \(1\sim n\) 的非空真子集 \(I\)，记 \(J = \{1\sim n\} - I\)，定义 \(G_I\) 为 \(G\) 的在第 \(j\) 个位置上为 \(G_j\) 单位元的元素集合，其中 \(\forall j\in J\)，则 \(G_I\) 同构于所有 \(G_i,\ i\in I\) 的直积，且 \(G_I\unlhd G\)，\(G / G_I\cong G_J\)，\(G\cong G_I\times G_J\)。
此外，直积的顺序不影响结果。
Exps.
\(n\) 个 \(Z_p\) 的直积称为 初等阿贝尔群 elementary Abelian group \(E_{p ^ n}\)。
5.2 The Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups
完整刻画了有限生成阿贝尔群的具体形态。
有限生成与自由阿贝尔群 finitely generated and free Abelian group
(1) 称 \(G\) 是 有限生成 的，若存在有限集合 \(A\) 使得 \(G = \an {A}\)。
(2) 对非负整数 \(r\in \Z\)，设 \(\Z ^ r\) 为 \(r\) 个 \(\Z\) 的直积，称为 \(r\) 阶 自由阿贝尔群。特别地，\(\Z ^ 0 = 1\)。
即 \(r\) 元整数组。
“自由” 是范畴论的概念。
Theorem 5.3 (fundamental theorem of finitely generated Abelian groups)
设 \(G\) 是有限生成阿贝尔群，则
(1) \(G\cong \Z ^ r\times Z_{n_1} \times \cdots \times Z_{n_s}\)，其中 \(r\) 是非负整数，\(n_j\) 均为不小于 \(2\) 的整数，且 \(n_{i + 1}\mid n_i\)。
(2) (1) 中的表示唯一。
根据结论 5.6 的 \(Z_{nm} = Z_{n}\times Z_m \iff n\perp m\)，如果 \(n_i\) 不是 \(n_{i + 1}\) 的倍数，则存在质因子 \(p\) 使得 \(n_i = p ^ \a m_i\)，\(n_{i + 1} = p ^ \b m_{i + 1}\) 且 \(\a < \b\)。令 \(n'_i = p ^ \b m_i\)，\(n'_{i + 1} = p ^ \a m_{i + 1}\)。最终 \(n_i\) 一定是 \(n_{i + 1}\) 的倍数。
对每个质因子 \(p\)，\(n_i\) 所含有 \(p\) 的幂次单调不增，且总和为 \(n\) 所含有 \(p\) 的幂次 \(\a\)。所有可能的划分方案为 \(\a\) 的划分，且不同质因子的 \(\a\) 独立。这引出了定理 5.5。
自由秩与不变因子 free rank and invariant factor
定理 5.3 中的 \(r\) 称为 \(G\) 的 自由秩（也称为 Betti number），\(n_1, \cdots, n_s\) 称为 \(G\) 的 不变因子，描述 \(G\) 的同构式称为 \(G\) 的 不变因子分解 invariant factor decoposition。
两个阿贝尔群同构当且仅当它们的自由秩和不变因子相等。
\(G\) 是有限阿贝尔群当且仅当 \(r = 0\)，此时 \(n = n_1\cdots n_s\)，称 \(G\) 的 类型 type 是 \((n_1, \cdots, n_s)\)。
根据定理 5.3，给定阶 \(n\)，可列举出所有 \(n\) 阶阿贝尔群。
Proposition 5.4
若 \(n\) 是不同质数的乘积，则阶为 \(n\) 的唯一阿贝尔群为 \(Z_n\)。
Theorem 5.5
设 \(G\) 是阶 \(n > 1\) 的有限阿贝尔群，且 \(n\) 的唯一分解为 \(n = p_1 ^ {\a_1} \cdots p_k ^ {\a_k}\)，则
(1) \(G\cong A_1\times \cdots\times A_k\)，其中 \(|A_i| = p_i ^ {\a_i}\)。
(2) 对每个 \(A\in \{A_i\}\) 且 \(|A| = p ^ \a\)，\(A\cong Z_{p ^ {\b_1}} \times \cdots \times Z_{p ^ {\b_t}}\)，其中 \(\b_1 \geq \cdots \geq \b_t\) 且 \(\b_1 + \cdots + \b_t = \a\)。\(t\) 和 \(\b\) 依赖于不同的 \(i\)（若 \(i\neq j\)，就算 \(\a_i = \a_j\)，\(t\) 和 \(\b\) 也可能不同）。
(3) (1) 和 (2) 中的分解唯一。
特别地，\(A_i\) 是 \(G\) 的 Sylow \(p_i\)-子群。因为 \(A_i\) 正规，所以 \(A_i\) 唯一。
对于有限阿贝尔群，定理 5.3 和 5.5 等价。
相较于定理 5.3，定理 5.5 将阿贝尔群拆成了更基本的 \(Z_{p ^ k}\) 的乘积。
根据定理 5.5，\(n\) 阶阿贝尔群的数量为 \(\scr P(\a_1)\cdots\scr P(\a_k)\)，其中 \(\scr P(\a_i)\) 表示 \(\a_i\) 的划分数。
初等因子 elementary divisor
定理 5.5 中的所有 \(p_i ^ {\b_j}\) 称为 \(G\) 的 初等因子。(1) 和 (2) 所描述的同构式称为 \(G\) 的 初等因子分解。
初等因子是所有 Sylow 子群的不变因子，也是 Sylow 子群的初等因子。
结论 5.6 在初等因子和不变因子之间建立了桥梁。
Proposition 5.6
设 \(m, n\in \Z ^ +\)。
(1) \(Z_m \times Z_n = Z_{mn}\iff m\perp n\)。
(2) \(Z_n \cong Z_{p_1 ^ {\a_1}} \times \cdots \times Z_{p_k ^ {\a_k}}\)，即对 (1) 使用数学归纳法。
Proof
设 \(l = \operatorname{lcm}(m, n)\)，则对任意 \(x ^ ay ^ b\in Z_m\times Z_n\)，\((x ^ ay ^ b) ^ l = x ^ {al} y ^ {bl} = 1\)。若 \(m\not\perp n\)，则 \(Z_m\times Z_n\) 的所有元素的阶不超过 \(l < mn\)。若 \(m \perp n\)，则 \(|xy| = \operatorname{lcm}(|x|, |y|) = mn\)。\(\square\)
秩与指数 rank and exponent
(1) 设 \(G\) 是类型 \((n_1, \cdots, n_t)\) 的有限阿贝尔群，称 \(t\) 为 \(G\) 的 秩。
(2) 设 \(G\) 是任意群，称满足 \(x ^ n = 1,\ \forall x\in G\) 的最小的 \(n\) 为 \(G\) 的 指数。
类比线性代数的秩：
- 矩阵的秩为 \(t\) 即列空间是 \(t\) 个线性无关向量的线性组合。
- 有限阿贝尔群的秩为 \(t\) 即所有元素可用 \(t\) 个互相无关的元素的乘积表示。
自由秩对应的元素更自由：它们可以是任意幂次。不变因子 \(n_i\) 对应的元素的幂次在 \(0\sim n_i - 1\) 范围内。
5.4 Recognizing Direct Products
将非阿贝尔群分解为群的直积。
交换子 commutator
(1) 定义 \([x, y] = x ^ {-1} y ^ {-1} xy\) 为 \(x, y\) 的 交换子。
(2) 定义 \([A, B] = \an{ [a, b]\mid a\in A,\ b\in B}\)。
(3) 定义 \(G' = \an {[x, y] \mid x, y\in G}\)，称为 \(G\) 的 换位子群 commutator group。
交换子衡量了 \(x, y\) 交换的程度。一个群越不交换，它的换位子群就越大。
注意：\([A, B]\) 不一定仅含 \(\{[a, b]\mid a\in A, \ b\in B\}\)，\(G'\) 也不一定仅含 \(\{[x, y]\mid x, y\in G\}\)。
\([x, y] ^ {-1} = [y, x]\)，于是 \([A, B] = [B, A]\)。
Proposition 5.7
设 \(x, y\in G\) 且 \(H\leq G\)，则
(1) \(xy = yx[x, y]\)。\(x, y\) 交换当且仅当 \([x, y] = 1\)。
(2) \(H\unlhd G\) 当且仅当 \([H, G]\leq H\)。
(3) 对任意 \(\s\in\aut(G)\)，\(\s[x, y] = [\s(x), \s (y)]\)。\(G' \cha G\) 且 \(G / G'\) 是阿贝尔群。
(4) \(G / G'\) 是最大的阿贝尔商群。即若 \(H\unlhd G\) 且 \(G / H\) 是阿贝尔群，则 \(G' \leq H\)。相反，若 \(G'\leq H\)，则 \(H\unlhd G\) 且 \(G / H\) 是阿贝尔群。
Proof
(2)：\(g ^ {-1}hg \in H \iff h ^ {-1}g ^ {-1}hg\in H\iff [h, g]\in H\)。
(3)：因为 \(\s\) 是同态，所以 \(\s[x, y] = [\s(x), \s (y)]\)，于是交换子在自同构下依然是交换子，因此 \(G' \cha G\)。因为 \([x, y]\in G'\)，所以 \((xy) G' = (yx[x, y])G' = (yx)G'\)。即 \(G / G'\) 是阿贝尔群。
(4)：若 \(G / H\) 是阿贝尔群，则 \(1H = (xH) ^ {-1}(yH) ^ {-1}(xH)(yH) = [x, y]H\)，即 \([x, y]\in H\)，因此 \(G'\leq H\)。相反，若 \(G' \leq H\)，则因为 \(G / G'\) 是阿贝尔群，所以 \(H / G'\unlhd G / G'\)。由第四同构定理 \(H\unlhd G\)，由第三同构定理 \(G / H\cong (G / G') / (H / G')\)，于是 \(G / H\) 是阿贝尔群。\(\square\)
(2)：\(hg = gh[h, g]\) 且 \(hg = gh'\) 说明 \(h[h, g] = h'\)，即 \([h, g]\in H\)。
(3)：令换位子群坍缩为 \(1\)，则根据 \(xy = yx[x, y]\) 以及 \(\ov{[x, y]} = \ov 1\) 可知 \(\ov {xy} = \ov {yx}\)。
(4)：换位子群是最小的满足坍缩为单位元之后商群为阿贝尔群的子群。若存在交换子 \([x, y]\) 没有坍缩为 \(1\)，则 \(\ov x, \ov y\) 在商群中不交换。相反，若所有交换子均坍缩为 \(1\)（坍缩为 \(1\) 的子群包含换位子群），则商群任意两个元素交换。
Exps.
(1) 如果 \(G\) 是阿贝尔群，则 \(G' = 1\)。
(2) \(D_8\) 本身不是阿贝尔群，但 \(D_8 / \an{r ^ 2} \cong V_4\)，所以 \(D_8' = \an{r ^ 2}\)。
Proposition 5.8
设 \(H, K\leq G\)。将 \(HK\) 中的每个元素写成 \(hk\ (h\in H,\ k\in K)\) 的形式的方案数为 \(|H\cap K|\)。特别地，若 \(H\cap K = 1\)，则 \(HK\) 的每个元素可以唯一地写成 \(hk\) 的形式。
Proof
设 \(x = h_1k_1 = h_2k_2\)，则 \(r = k_1k_2 ^ {-1} = h_1 ^ {-1}h_2 \in |H\cap K|\)。对任意 \(r\in |H\cap K|\)，\(x = (h_1r)(r ^ {-1}k)\)。\(\square\)
Theorem 5.9 (recognition theorem)
若 \(H, K\unlhd G\) 且 \(H\cap K = 1\)，则 \(HK\cong H\times K\)。
Proof
由 \(H\unlhd G\) 可知 \([H, K]\leq H\)。由 \(K\unlhd G\) 可知 \([H, K]\leq K\)。因此 \([H, K] = 1\)，即 \(H\) 和 \(K\) 的元素可任意交换。
构造映射 \(\ph : HK\to H\times K\) 满足 \(\ph(hk) = (h, k)\)。由结论 5.8 可知映射良定义。由 \([H, K] = 1\) 可知 \(\ph\) 是同态。而 \(\ph\) 显然是双射，所以 \(\ph\) 是同构。\(\square\)
内、外直积
对 \(H, K\unlhd G\) 且 \(H\cap K = 1\)，称 \(HK\) 为 \(H, K\) 的 内直积 (Interntal Direct Product)，称 \(H\times K\) 为 \(H, K\) 的 外直积 (External Direct Product)。
内、外直积仅在符号上有区别。
识别定理是本小节的核心，它要求 \(H, K\) 均为正规子群。若仅要求 \(H\) 是正规子群，欲将 \(HK\) 分解为 \(H, K\) 的乘积，则需要下一小节的半直积工具。
5.5 Semidirect Products
半直积是直积的推广。由推论 3.15，\(HK\) 是子群当且仅当 \(H, K\) 至少一个为正规子群。我们希望提出对识别定理的不要求 \(K\unlhd G\) 的推广。
设 \(H\unlhd G\) 且 \(H\cap K = 1\)。由结论 5.8，存在 \(hk\) 和有序对 \((h, k)\) 的双射。考虑 \(HK\) 的两个元素如何相乘：
以上计算以 \(G\) 存在为前提。半直积将整个过程倒过来，通过 \(H, K\) 构造群 \(G\) 使得 \(H, K\) 满足上述条件。
在有序对 \((h, k)\) 上定义二元运算，自然的想法是 \((h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1(k_1h_2k_1 ^ {-1}), k_1k_2)\)。\(H\) 关于 \(K\) 的共轭给出了 \(K \to \aut (H)\) 的同态，这是半直积的核心。
根据 \(H, K\) 和 \(K\to \aut(H)\) 的同态 \(\ph\)，定义半直积的概念。最终我们会发现 \(\ph\) 定义了 \(H\) 关于 \(K\) 的共轭。
\(\ph\) 描述了 \(k\) 和 \(h\) 如何交换：\(kh = (k\cdot h) k\)。从这个角度去理解，\(D_{2n} = Z_n \rtimes_{\ph} Z_2\)，其中 \(\ph : Z_2\to \aut (Z_n)\) 满足 \(\ph(1)(r) = r\)，\(\ph(s)(r) = r ^ {-1}\)，对应 \(sr = (s\cdot r)s = r ^ {-1}s\)。
Theorem 5.10
设 \(H, K\) 是群，\(\ph\) 为 \(K\to \aut (H)\) 的同态。令 \(\cdot\) 表示 \(K\) 根据 \(\ph\) 左作用于 \(H\)。设 \(G\) 为 有序对 \((h, k)\) 的集合并定义运算
\[(h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1 \ k_1\cdot h_2, k_1k_2) \](1) \(G\) 是群且 \(|G| = |H||K|\)。特别地，\(G = HK\)（使用 (2) 的记号）。
(2) \(h\mps (h, 1)\) 和 \(k\mps (1, k)\) 都是同构。\(H\cong \{(h, 1)\mid h\in H\}\leq G\)，\(K\cong \{(1, k)\mid k\in K\}\leq G\)。
用 \(H, K\) 表示 (2) 描述的它们在 \(G\) 中的对应子群，则
(3) \(H\unlhd G\)。
(4) \(H\cap K = 1\)。
(5) \(khk ^ {-1} = k\cdot h = \ph(k)(h)\)。其中第一个等式左侧为 \(G\) 中的运算（用 \(h, k\) 分别表示 \((h, 1), (1, k)\)），第一个等式右侧表示 \(K\) 作用于 \(H\)。
Proof
(5)：\((1, k)(h, 1)(1, k) ^ {-1} = (k\cdot h, k)(1, k ^ {-1}) = (k\cdot h\ k\cdot 1, 1) = (k\cdot h, 1)\)。
(3)：由 (5) 知 \(kHk ^ {-1} = H\)，即 \(K\leq N_G(H)\)。而 \(H\leq N_G(H)\) 且 \(G = HK\)，所以 \(G = N_G(H)\)。\(\square\)
半直积 semidirect product
定理 5.10 定义的群 \(G\) 称为 \(H, K\) 关于 \(\ph\) 的 半直积，记为 \(H\rtimes_{\ph} K\)（\rtimes）。不引起歧义时省略右下角标。
结论 5.11 告诉我们在什么情况下直积和半直积相等。它揭示了直积和半直积的关系：直积是一种特殊的半直积。
Proposition 5.11
设 \(H, K\) 是群，\(\ph\) 为 \(K\to \aut (H)\) 的同态。以下命题等价：
(1) \(H\rtimes K\) 和 \(H\times K\) 的恒等映射是同态（也是同构）。
(2) \(\ph\) 是 \(K\to \aut (H)\) 的平凡同态，即 \(\ph(k)(h) = h\)。
(3) \(K\unlhd H\rtimes K\)。
Proof
(1) -> (2): 由 (1)，\((h_1, k_1)(h_2, k_2) = (h_1h_2, k_1k_2)\)，于是 \(k_1\cdot h_2 = h_2\)，即 \(\ph(k_1)\) 是恒等映射。
(3) -> (1)：由 (3)，\([h, k]\in K\)。所以 \([h, k]\in H\cap K = 1\)。于是 \(hk = kh\)
由半直积的定义，(1) 的同构和 (2) 的平凡同态说明 \((1, k)(h, 1) = (h, k) = (h, 1)(1, k)\)，即 \(h, k\) 交换。(3) 的 \(H, K\unlhd H\rtimes K\) 结合识别定理的证明也说明 \(h, k\) 交换。
这再一次告诉我们，\(\ph\) 本质上描述了 \(h, k\) 如何交换。\(h, k\) 交换则为直积，它是半直积的特例。
Theorem 5.12
设 \(H, K\leq G\) 满足 \(H\unlhd G\) 且 \(H\cap K = 1\)，令 \(\ph : K\to \aut(H)\) 是由 \(K\) 左共轭作用于 \(H\) 上导出的同态，则 \(HK \cong H\rtimes_\ph K\)。特别地，若 \(G = HK\)，则 \(G\) 是 \(H, K\) 的半直积。
正确性由本小节开头的计算验证得到。
半直积的识别定理。对应定理 5.9。
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