题外话-错排

错排，顾名思义，错误的排列，所有的数都不在自己的位置上
第一个递推公式就显而易见

\[D_n = (n - 1)(D_{n - 1} + D_{n - 2}) \]

接下来就看看它的通项公式
定义\(D_n\)所对应的函数\(D(n)\)
令\(g(n) = n!\)
不难发现错排与阶乘的关系

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^nC_n^iD(i) \]

注意形式，不难发现，其与二项式反演的形式相同
套用模板
得：

\[D(n) = n! \displaystyle \sum_{i = 0}^n\frac{(-1)^i}{i!} \]