二项式反演

一般地，反演是处理以下形式：

\[f(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}a_{ni}g(i) \]

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}b_{ni}f(i) \]

二项式反演

I

\[f(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}(-1)^{i}C_n^ig(i) \]

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}(-1)^{i}c_n^if(i) \]

II

\[f(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}C_n^ig(i) \]

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}(-1)^{n - i}c_n^if(i) \]

III

\[f(n) = \displaystyle \sum_{i = n}^{N}(-1)^{i}C_n^ig(i) \]

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = n}^{N}(-1)^{i}c_n^if(i) \]

IV

\[f(n) = \displaystyle \sum_{i = n}^{N}C_n^ig(i) \]

\[g(n) = \displaystyle \sum_{i = n}^{N}(-1)^{i-n}c_n^if(i) \]

以上I, IV相对常见

接下来以证明II为例

引理

\[C_n^j \cdot c_i^j = C_n^i \cdot C_{n - i}^{n - j} \]

这个挺好证的

注意，\(0^0\)在本篇博客中为了确保多项式的连续以及正确性值为\(1\)

Proof：

\[\begin{equation} \begin{split} 假设f(n) = \displaystyle \sum_{i = 0}^{n}C_n^ig(i)\\\longrightarrow \sum_{i = 0}^n(-1)^{n - i}C_n^if(i) = \sum_{i =0}^n(-1)^{n - i}C_n^i\sum_{i = 0}^nC_n^ig(i)\\ =\sum_{i = 0}^ng(i)\sum_{j = i}^{n}(-1)^{n-j}C_n^jC_j^i\\ =\sum_{i = 0}^ng(i)\sum_{j = i}^n(-1)^{n-j}C_n^iC_{n - i}^{n - j}\\ =\sum_{i = 0}^nC_n^ig(i)\sum_{j = i}^n(-1)^{n - j}C_{n - i}^{n - j}\\ =\sum_{i = 0}^nC_n^ig(i)\sum_{j = 0}^{n - i}(-1)^{n - i - j}C_{n - i}^j\\ =\sum_{i = 0}^nC_n^ig(i)(1-1)^{n - i}\\ =g(n) \end{split} \end{equation} \]

证毕

感谢HS-black的文章给予的帮助