题解：[2019 KAIST RUN Spring] Jealous Teachers

题意：给定一个二分图，左部 \(n-1\) 个点，右部 \(n\) 个点。求出一组匹配，每条边可以匹配多次，要求每个左部点匹配 \(n\) 次，每个右部点匹配 \(n-1\) 次。

直接跑网络流复杂度不太对劲，考虑 Hall 定理：对于 \(S\subset L\)，有 \(n|S|\le (n-1)|N(S)|\)。变形得到 \(|N(S)|\ge \frac{n}{n-1}|S|=|S|+\frac{|S|}{n-1}\)。注意到 \(1\le|S|\le n-1\)，故存在匹配等价于 \(|N(S)|\ge |S|+1\)。

这个限制和 P12785 [ICPC 2024 Yokohama R] Remodeling the Dungeon 2 一样，考虑类似的构造方式。

如果每个左部点和右部点只能匹配一次，上面的限制保证了此时存在大小为 \(n-1\) 的匹配。求出这样一组匹配，然后将二分图定向：所有匹配边的起点为左部点，所有非匹配边的起点为右部点。此时有右部点中有唯一一个未匹配点，从它开始在定向后的图上 dfs。可以证明如果二分图满足上面的限制，那么所有点都会在 dfs 中访问到。

考虑 dfs 树，树上每一个左部点都有恰好一个儿子。因此，每个左部点为根的子树中，左部点和右部点数量相等；每个右部点为根的子树中，右部点数量比左部点多 \(1\)。直接在 dfs 树上贪心匹配，对于每个 \(x\)，先递归所有子树，然后可以归纳证明 \(x\) 剩余的匹配数不小于所有儿子的剩余匹配数之和，所以可以用 \(x\) 补完所有儿子的匹配，使得子树中除了 \(x\) 都符合要求。最后由于左右部总匹配数相等，一定会匹配完。

复杂度瓶颈在于求最大匹配，可以做到 \(\mathcal O(m\sqrt{n})\)。