题解：[洛谷 P8004] Welcome to Lunatic City

感觉是一个 \(\mathcal O(n)\) 做法。

下文中 \(deg\) 指以 \(1\) 为根儿子个数。

问题可以转化为构造另一棵以 \(1\) 为根的树，使得每个点的 \(deg\) 不变，且所有关键点的深度之和最小。转化过程略去。

首先是一个结论：将所有点按以度数为第一关键字，是否为关键点为第二关键字排序得到 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)（钦定 \(p_1=1\)） 那么一定存在一个 \(1\le k\le n\)，使得最优答案由保留 \(p_{1\sim k}\)，将 \(p_{k+1\sim n}\) 按照以是否为关键点为第一关键字，度数为第二关键字重排后得到的排列取到。也就是依次填完 \(p_{1\sim k}\) 后接着填剩下的所有关键点，再填剩下的非关键点。

证明考虑如果这样取不到最优，最优的树长什么样。可以发现会存在第 \(i\) 层一个关键点 \(x\)，第 \(i+1\) 层一个非关键点 \(y\) 使得 \(deg_y>deg_x\)，且第 \(\ge i+2\) 层存在关键点。此时交换 \(x,y\)（原来 \(x\) 的子树都接在 \(y\) 下面，\(y\) 的前 \(deg_x\) 个子树接在 \(x\) 下面），只有一个关键点深度 \(+1\)，如果 \(y\) 的后 \(deg_y-deg_x\) 个子树中有关键点则调整不劣，否则将其中任意一个子树和 \(\ge i+2\) 层的关键点交换也不劣。

考虑枚举 \(k\) 求答案，设现在的树在第 \(d\) 层还有 \(y\) 个空位，第 \(d+1\) 层还有 \(x\) 个空位，现在需要求出将 \(p_{k+1\sim n}\) 中的关键点依次填进去后他们的深度和。

先把前 \(y\) 个填进去，得到 \(x^{\prime}\) 个都在 \(d+1\) 层的空位。接下来考虑暴力：先把前 \(x_0=x^{\prime}\) 个点填在 \(d+1\) 层，设 \(x_1\) 为他们的度数和，则 \(d+2\) 层有 \(x_1\) 个空位，再填接下来的 \(x_1\) 个点，然后得到 \(x_2\)，以此类推。

考虑优化。可以发现，在填入 \(deg\le 1\) 的关键点之前，都有 \(x_i\ge 2x_{i-1}\)，所以这样至多填 \(\log\frac{n}{x_0}\) 层，而后面度数均为 \(1,0\) 的部分是容易 \(\mathcal O(1)\) 算的。而且可以认为，\(p_{2\sim k}\) 度数都不小于 \(2\)，所以有 \(x_0=x^{\prime}\ge k\)，那么这部分总复杂度为 \(\sum_{k=1}\mathcal O(\log\frac{n}{k})=\mathcal O(n)\)。

这里的复杂度分析是：

\[\sum_{k=1}\log\frac{n}{k}=\sum_{i=1}\sum_{k=1}[\log\frac{n}{k}\ge i]=\sum_{i=1}\frac{n}{2^i}=\mathcal O(n) \]

前面的排序和后面的构造容易线性，故总复杂度 \(\mathcal O(n)\)。