集训队作业1——qoj#11722

Hamilton 解题报告

题目大意

以如下方式给出一张带权无向图：点集为 \(\{1,2,\dots,n\}\)，边有两种：

1. \(\forall 1\leq i<n\)，\((i,i+1)\) 之间有边权为 \(0\) 的边；

2. \(\forall 1\leq i<j\leq n\) 且 \(\gcd(i,j)=1,j-i>1\)，\((i,j)\) 之间有边权为 \(1\) 的边。

现在给定起点 \(a\) 和终点 \(b\) （保证 \(a\neq b\)），构造一条从 \(a\) 开始，以 \(b\) 结束的权值和最小的哈密顿路径（即经过每个点恰好一次），或报告无解。

\(2\leq n\leq 2\times10^5\)，\(1\leq a,b\leq n\)。

解题过程

不妨设 \(a<b\)，否则交换 \(a,b\) 并将路径首尾翻转即可。

观察到边权为 \(1\) 的边实际上是很多的，所有可以猜想路径权值和较小。注意到路径权值和实际上就是有多少条 \((i,i+1)\) 的边没有经过，称这种边为"断边"。由于 \(a,b\) 为路径端点，所以 \((a,a+1)\) 和 \((a-1,a)\) 中至少一条断边，\((b,b+1)\) 和 \((b-1,b)\) 中至少一条断边，即当 \(1<a<b<n\) 且 \(b-a>1\) 时答案至少为 \(2\)，故可以分类讨论所有答案不超过 \(2\) 的情况。

（下文中 \(a\to b\) 表示边权为 \(0\) 的边，要求 \(|a-b|=1\)；\(a\Rightarrow b\) 表示边权为 $1 $ 的边，要求 \(\gcd(a,b)=1\)；\(a\leadsto b\) 表示通过 \(0\) 的边从 \(a\) 到 \(b\) 的路径，即 \(a<b\) 时为 \(a\to a+1\to\dots\to b\)，\(a>b\) 时为 \(a\to a-1\to\dots\to b\)，\(a=b\) 时即表示单点 \(a\)）：

答案为 \(0\) 的情况：

1. 只有 \(a\leadsto b\)，此时要求 \(a=1,b=n\)。

答案为 \(1\) 的情况：

1. \(a\leadsto 1\Rightarrow n\leadsto b\)，此时要求 \(a+1=b\)；

2. \(a\leadsto 1\Rightarrow a+1\leadsto b\)，此时要求 \(b=n\)；

3. \(a\leadsto b-1\Rightarrow n\leadsto b\)，此时要求 \(a=1\) 且 \(\gcd(n,b-1)=1\)。

答案为 \(2\) 的情况：

1. \(a\leadsto 1\Rightarrow b-1\leadsto a+1\Rightarrow n\leadsto b\)，要求 \(\gcd(a+1,n)=1\)；

2. \(a\leadsto 1\Rightarrow a+1\leadsto b-1\Rightarrow n\leadsto b\)，要求 \(\gcd(b-1,n)=1\)；

3. \(a\leadsto b-1\Rightarrow 1\leadsto a-1\Rightarrow n\leadsto b\)，要求 \(\gcd(a-1,n)=1\)；

4. \(a\leadsto b-1\Rightarrow a-1\leadsto 1\Rightarrow n\leadsto b\)，要求 \(\gcd(a-1,b-1)=1\)；

5. \(a\leadsto 1\Rightarrow b+1\leadsto n\Rightarrow a+1\leadsto b\)，要求 \(\gcd(a+1,n)=1\)（这实际上和 1 解决的是同一种情况）；

6. \(a\leadsto 1\Rightarrow n\leadsto b+1\Rightarrow a+1\leadsto b\)，要求 \(\gcd(a+1,b+1)=1\)。

7. 还有部分 \(a=1\) 的剩余情况。

考虑剩余情况，即上面的互质条件都不满足，最简单的例子就是 \(n\) 为偶数，\(a,b\) 均为奇数。

简单举例尝试一下，可以发现这种情况似乎不存在构造。事实上，这就是本题的无解情况，证明如下：采用上面的“断边”来刻画哈密顿路径，那么每条断边的端点一定是一奇一偶，又因为 \(1\) 为奇数，\(n\) 为偶数，所以设断点将 \([1,n]\) 分成了 \(c\) 段（这意味着如果存在路径，边权和为 \(c-1\)），那么所有段的左右端点加起来共有 \(c\) 个奇数 \(c\) 个偶数。又因为起点 \(a\) 终点 \(b\) 均为奇数，所以剩余的 \(c-2\) 个奇数 \(c\) 个偶数分成 \(c-1\) 对（每对代表一条段之间的连边），必然有一对偶数，那么此时就不可能互质，这两个点之间不可能存在边。

上面的证明也提示了考虑奇偶性，所以对于剩余的情况考虑将 \((1,2)\) 设为断边，这样 \(2\) 和所有奇数之间都有权值为 \(1\) 的边：

对于 \(a=1\)（这就是上面没讨论的权值和为 \(2\) 的情况）：

1. \(n\) 为奇数：\(1\Rightarrow b-1\leadsto 2\Rightarrow n\leadsto b\)；

2. \(b\) 为偶数：\(1\Rightarrow n\leadsto b+1\Rightarrow 2\leadsto b\)。

对于 \(a>1\)（权值和为 \(3\)）：

1. \(n\) 为奇数：\(a\leadsto2\Rightarrow n\leadsto b+1\Rightarrow 1\Rightarrow a+1\leadsto b\)；

2. \(b\) 为偶数：\(a\leadsto2\Rightarrow b+1\leadsto n\Rightarrow 1\Rightarrow a+1\leadsto b\)；

3. \(a\) 为偶数：\(a\leadsto2\Rightarrow a+1\leadsto b-1\Rightarrow 1\Rightarrow n\leadsto b\)；

除了分类讨论外，另一种可能的思路是暴力枚举断边（上面用到的断边只有五种可能）并枚举每段之间的顺序、每段内的方向并检验，可以避免讨论。

参考资料

无。