题解：qoj#4889 [集训队互测 2021]愚蠢的在线法官

题意简述

给定一个 \(n\) 个点的有根树，点有点权 \(v_i\)。再给定一个长为 \(m\) 的序列 \(a_{1,2,\dots,m}\)，构造 \(m\) 阶方阵 \(B\)，满足 \(B_{i,j}=v_{\mathrm{lca}(a_i,a_j)}\)，求其行列式 \(|B|\)。

\(n,k\leq 5\times 10^5\)。

特殊性质：\(m>n\)

当 \(a\) 中有重复元素时，\(B\) 中会出现相同的两行，故 \(|B|=0\)。

下面都有 \(m\leq n\) 且 \(a\) 中元素不重。

特殊性质：\(a\) 为 \(1,2,\dots,n\) 的排列

交换两个 \(a\) 相当于交换 \(B\) 中两行两列，行列式不变，故不妨设 \(a_i=i\)。

对于拆行列式，有一个方法是利用行列式的可乘性，即对于 \(n\) 阶方阵 \(B,C,D\)，若 \(B=CD\)，则 \(|B|=|C||D|\)。

例如对于 \(B_{i,j}=\gcd(i,j)\)，由 \(\gcd(i,j)=\sum_{d|i\wedge d|j}\varphi(d)\) 那么构造 \(C_{i,j}=[j|i],D_{i,j}=[i|j]\varphi(i)\)，则 \(B=CD\)。而 \(C\) 为上三角矩阵，\(D\) 为下三角矩阵，行列式均容易计算，有 \(|B|=|C||D|=\prod_{i=1}^n\varphi(i)\)。

上面构造成立是因为 \(\gcd(i,j)\) 就是 \(i,j\) 所有的公因数 \(\varphi\) 之和，而且 \(i|j\) 蕴含 \(i\leq j\) 使得 \(C,D\) 是便于计算行列式的上/下三角矩阵。

下面考虑对 \(B_{i,j}=v_{\mathrm{lca}(i,j)}\) 进行类似的构造。设 \(\Delta v_i=v_i-v_{fa_i}\)，记 \(i\to j\) 表示 \(i\) 是 \(j\) 的祖先，那么 $ v_{\mathrm{lca}(i,j)}$ 就是 \(i,j\) 的所有公共祖先的 \(\Delta v\) 之和，即 \(v_{\mathrm{lca}(i,j)}=\sum_{x\to i,x\to j}\Delta v_x\)。那么构造 \(C_{i,j}=[j\to i],D_{i,j}=[i\to j]\Delta v_i\)，就有 \(B=CD\)。虽然 \(i\to j\) 并不能推出 \(i\leq j\)，但是由于可以交换下标，不妨设 \(fa_i<i\)，那么就有 \(i\to j\) 蕴含 \(i\leq j\)，所以 \(|C|=1\)，\(|D|=\prod_{i=1}^n\Delta v_i\)。

正解

对于 \(m\neq n\)，上面的构造出现了问题。\(B\) 是 \(m\times m\) 的，而因为 \(a_i,a_j\) 的公共祖先可能是 \(1,2,\dots n\) 中的任何一个，所以 \(C,D\) 就只能是 \(m\times n，n\times m\) 的，这样 \(C,D\) 就不是方阵了。

那么应用 Binet-Cauchy 公式，简单来说就是对于 \(C_{m\times n},D_{n\times m}\)，有：

\[\begin{equation*} |CD|= \begin{cases} 0, &m>n\\ \displaystyle\sum_{S\subset\{1,2,\dots,n\}\wedge|S|=m}|C_{\ast,S}||D_{S,\ast}|, &m\leq n \end{cases} \end{equation*} \]

考虑行列式的意义，那么就是要选出一个大小为 \(m\) 的点集 \(S\)，再构造两个排列 \(p_1,p_2,\dots,p_m\) 和 \(q_1,q_2,\dots,q_m\)，满足 \(S_i\to a_{p_i},S_i\to a_{q_i}\)，权值为 \(\prod_{i=1}^m\Delta v_{S_i}\times (-1)^{\tau(p)+\tau(q)}\)。

称 \(a\) 中的点为关键点，那么 \(p\) 就对应了一组 \(S\) 中的点和关键点的匹配，其中每个 \(S\) 中的点只能匹配子树中的关键点。考虑贪心求这个匹配的过程，那么自底向上考虑每个 \(S\) 中的点 \(x\)：如果此时考虑的 \(x\) 的子树内没有未匹配的关键点，那么不存在匹配；否则将 \(x\) 与子树中任意有一个未匹配点匹配。

注意到如果存在至少两组匹配，则说明考虑到某个 \(x\in S\) 时，子树内至少有两个未匹配的关键点 \(u,v\)。假设 \(x\) 匹配 \(u\)，\(x\) 某个祖先 \(y\) 匹配 \(v\)，那么让 \(x\) 匹配 \(v\)，\(y\) 匹配 \(u\) 仍然合法，而排列奇偶性改变，权值互为相反数。

那么可以说明，如果 \(S\) 对应的匹配不唯一，一定可以构造双射证明权值总和为 \(0\)，也就是只需要考虑对应的匹配唯一的 \(S\)。此时一定有 \(p=q\)，所以权值为 \(\prod_{i=1}^m\Delta v_{S_i}\)。

根据上面的贪心进行 dp 即可。复杂度 \(O(n)\)。