Antimatter 题解

简要题意

有一个计数器 \(cnt\) 初始时为 \(0\) ，以及 \(n\) 个操作，每个有参数 \(l_i,r_i,c_i\)

每次可以从 \(n\) 个操作中选择一个（可以重复选），然后 \(cnt\) 会加上 \([l_i,r_i]\) 中随机的一个正整数，要保证 \(cnt\) 一定不会超过 \(V\) （也就是 \(cnt+r_i\leq V\)）

记做选过的所有操作 \(c\) 之和为 \(C\) ，求在最坏情况下，最终 \(cnt\times 10^9-C\) 的最大值

\(n\leq 100\) ，\(V\leq 2,000,000\)

时空限制：\(\mathrm{2s,122MB}\)

题解

（虽然题面中 \(10^9\) 远大于 \(c_i\) 这个条件看起来是很优秀的性质，但其实没用）

考虑将“最坏情况下最好”翻译成更清晰的表达，容易想到设 \(f_i\) 为当前 \(cnt\) 为 \(i\) ，之后所能获得的最大值（初值可以设为 \(f_i=i\times 10^9\) )

接下来按照 \(i\) 从大到小计算 \(f_i\) ，先枚举此次操作 \(j\) ，那么接下来的 \(cnt\) 可能变为 \([i+l_j,i+r_j]\) 中任一正整数，所以 \(j\) 必须满足 \(i+r_j\leq V\) 。由于是考虑最坏情况，所以选举操作 \(j\) 所转移到的状态应该是 \(\min\limits_{k=i+l_j}^{i+r_j}\{f_k\}\)

操作是我们任选的，我们希望最终结果尽可能大，所以有转移：

\[\begin{align*} f_i=\max\{f_i,\max_{j=1,i+r_j\leq V}^n\{\min_{k=i+l_j}^{i+r_j}\{f_k\}-c_j\}\} \end{align*} \]

可以发现，当 \(i\) 从 \(n\) 到 \(0\) 变化时，对于每个 \(j=1,2,\dots,n\) ，\([i+l_j,i+r_j]\) 是一段平移的区间，求这个区间的最小值，可以用单调队列实现

此时，时空复杂度均为 \(O(nV)\) ，时间复杂度已经足够优秀，但 \(n\) 个单调队列的内存难以接受，所以考虑将 \(n\) 个单调队列一起维护

这时，如果枚举当前 \(cnt\) 每个操作所对应的贡献区间过于无序，不好实现合并处理，所以更换一种转移方式：枚举 \(i\)， 对于操作 \(j\) ，我们将区间 \([i,i+r_j-l_j]\) 的 \(f\) 最小值贡献到 \(i-l_j\) 。这样，\(n\) 个操作的贡献区间左端点就对齐了。这时，我们维护一个编号的单调队列 \(Q\) ，保持它的队头到队尾 \(f\) 值递减，那么每个操作 \(j\) 对应的最小值为 \(f_{Q_{fr_j}}\) ， 其中 \(fr_j\) 为使得 \(Q_{fr_j}\leq i+r_j-l_j\) 的最小正整数。这样，我们对每个 \(j\) 维护了一个队头指针 \(fr_j\)，相当于维护了一个单调队列（即 \(Q_{fr_j},Q_{fr_j+1},\dots,Q_{ba}\) ，\(ba\) 为大单调队列 \(Q\) 的队尾）。

最终时间复杂度 \(O(nV)\) ，空间复杂度 \(O(V)\) 。