有理数取模

做题的时候突然发现当初 【数学】学习笔记 漏了有理数取模，但在很多概率期望题里又不会给出提示，于是总结一下，算是对笔记的一个补充吧。

---

有理数是啥？翻开我们的初中数学课本，发现有理数是整数和分数的总称，所以说所有的有理数 \(q\) 其实可以表示成 \(q=\dfrac{a}{b}\)（\(a,b\in \mathbf{Z}\)）的形式。

那对有理数取模就是让我们求 \(\dfrac{a}{b}\mod p\)（假设 \(p\) 为质数） 的值咯。

我们可以想，假设这个值为 \(x\)，那它是不是满足 \(x\equiv \dfrac{a}{b}\pmod{p}\) 啊。给这个柿子变一下形，得 \(bx\equiv a\pmod{p}\)，也就是说，我们找的值其实就是这个同余方程的解啦。

为解这个同余方程，不妨令 \(x=ax_0\)，则 \(b(ax_0)\equiv a\pmod{p} \Rightarrow bx_0\equiv 1\pmod{p}\)。

我们可以就用 exgcd 求得 \(x_0\)，进而求得 \(x\) 啦。

无解的话，不妨考虑：

• 若 \(p\mid b\)，此时若 \(p\mid a\)，则同余方程恒成立，有无数组解，而反之不可能成立，方程无解；

• 反之，则因为 \(p\) 为质数，所以 \(b\) 与 \(p\) 互质，那么 \(bx_0\equiv 1\pmod{p}\) 一定有解。

综上，特判当 \(p\mid b\) 是无解就行了。

如例题：P2613 【模板】有理数取余 其实就是套了个 Trick 嘛，具体实现可参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int p = 19260817;
int read()
{
	int x = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch) && ch != EOF) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch - '0'), x %= p, ch = getchar();
	return x;
}
void print(int num)
{
	if(num > 9) print(num / 10);
	putchar(num % 10 + '0');
}
int x, y;
void exgcd(int a, int b)
{
	if(b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b);
	int z = x;
	x = y;
	y = z - y * (a / b);
}
int a, b;
signed main()
{
	a = read(), b = read();
	if(b == 0) return puts("Angry!"), 0;
	exgcd(b, p);
	x = (x % p + p) % p;
	cout << x * a % p;
	return 0;
}