Luogu P9488 ZHY 的生成树 题解

题目内容

ZHY 有一个 \(n\) 个点的完全图，点 \(u\) 与点 \(v\) 的距离为 \(\gcd(u,v)\)，求这个完全图的最大生成树的边权之和。

思路

方法一

很明显这道题目是在求最大生成树，但由于数据中 $1≤n≤ 10^{7} $ ,明显不能使用暴力枚举每两个点之间的 \(\gcd\)，那么我们可以从每个点 \(i\) 出发去找它的倍数 \(j\)，那 $ \gcd(i,j)=i$ ，当然由于最大生成树要求从边权大的边开始加边，所以 \(i\) 应该从 $ \frac{n}{2} $ 开始递减寻找倍数(至于从 $ \frac{n}{2} $ 开始而不是从 \(n\) 开始是因为 $ \frac{n}{2}+1 $ 到 \(n\) 的所有数的倍数均超过了 \(n\)，无需枚举)但这个方法的时间复杂度仍然拿不了 100pts。

方法二

在方法一的基础上我们可以通过数论唯一分解定理，发现点 \(i\) 与点 \(j\) 之间，\(j\) 只能是 \(i\) 的质数倍，因为如果 \(j\) 是 \(i\) 的合数倍，\(j\) 就会与它的所有因数存在连边，它的所有因数又会和 \(i\) 存在连边，从而就形成了环，所以我们可以先进行一次欧拉筛，算出所有的质数，再从 $ \frac{n}{2} $ 开始递减寻找质数倍数 \(j\)，跑一遍最大生成树即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[10000005];
typedef long long ll; 
const int N=1e7+5;
int cnt;
int book[N],prim[N],a,b;
int getf(int x)
{
	if(f[x]==x)
		return x;
	return f[x]=getf(f[x]);
}
void ol(int x)
{
	for(ll i=2;i<=x;i++)
	{
		if(book[i]==0)
		{
			prim[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;1ll*i*prim[j]<=x;j++)
		{
				book[i*prim[j]]=1;
				if(i%prim[j]==0)
					break;
		}	 
	 } 
} 
int main()
{
	int sum=0;
	cin>>n;
	ol(n); 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=i;
	}
	long long ans=0,m=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=1;prim[j]*i<=n;j++)
		{
			int fx=getf(i),fy=getf(prim[j]*i);
			if(fx!=fy)
			{
				m++;
				f[fy]=fx;
				ans+=i;
				if(m==n-1)
				{
					cout<<ans;
					return 0;
				}
			}	
		}
	}
	return 0;
}