Luogu P10668 BZOJ2720 [Violet 5] 列队春游 题解

[列队春游] 题解

题意

给定整数序列 \(a\)，对于随机排列 \(p\)，求 \(\sum f_i\) 的期望。

对于位置 \(i\)，\(f_i\) 定义为最小的 \(x\)，满足对于任意位置 \(j,1 \leq x \leq j \leq i\)，均有 \(a_{p_j} \leq a_{p_i}\)。

数据范围：\(a_i, n \leq 10^7\)。

题解

设 \(x_i + 1\) 为第 \(i\) 位的贡献，我们要求的是 \(\sum \mathbb{E}(x_i + 1)\)。

这等价于求：

\[x_i = \sum_{j<i} [a_j \leq a_i \text{ 并且 } j \text{ 到 } i \text{ 之间的数都小于等于 } a_i] \]

枚举小于 \(a_i\) 的数，则：

\[x_i = \sum_{k<a_i} P_k \]

其中 \(P_k\) 表示数 \(k\) 对 \(i\) 产生贡献的概率。

通过古典概型的方法求出 \(P_k\)。假设有 \(s\) 个小于 \(a_i\) 的数，将 \(k\) 和 \(a_i\) 绑在一起，先不考虑其他的 \(s-1\) 个小于 \(a_i\) 的数，有 \((n-s)!\) 种排列，然后再将剩下 \((s-1)\) 个数插进来。故概率为：

\[\frac{(n-s)! A_n^{s-1}}{n!} = \frac{1}{n-s+1} \]

因此：

\[x_i = \frac{s}{n-s+1} \]

对于每个数分别求出 \(x_i\) 即可。

算法步骤

1. 读入 \(n\) 和数组 \(a\)
2. 对 \(a\) 排序，得到每个 \(a_i\) 的排名，从而得到 \(s_i\)（严格小于 \(a_i\) 的数的个数）
3. 计算 \(\sum_{i=1}^n \left(1 + \frac{s_i}{n-s_i+1}\right)\)
4. 输出结果

复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(n \log n)\)
• 空间复杂度：\(O(n)\)

代码实现要点

• 注意处理重复元素的情况
• 使用双精度浮点数计算期望值并且输出时保留两位小数

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,h[305];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>h[i];
	sort(h+1,h+1+n);
	long double ans=0,pre=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(h[i]!=h[i-1])
			pre=i-1;
		ans+=pre/(n-pre+1);
		ans++;
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans;
	return 0;
}