随笔分类 -  矩阵论

矩阵的级数
摘要：矩阵的级数： 定义： \[{e^{tA}} = I + \frac{{tA}}{{1!}} + \frac{{{t^2}{A^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{t^k}{A^k}}}{{k!}} + ...\] \[\sin (tA) = tA - \frac{{{t^3}{A^ 阅读全文

posted @ 2019-01-12 18:11 codeDog123 阅读(424) 评论(0) 推荐(0)

张量积
摘要：张量积： \[A \otimes B = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}B}&{...}&{{a_{1n}}B}\\{...}&{...}&{...}\\{{a_{m1}}B}&{...}&{{a_{mm}}B}\end{array}} \righ 阅读全文

posted @ 2019-01-12 18:10 codeDog123 阅读(1336) 评论(0) 推荐(0)

高低阵
摘要：矩阵秩公式：$A \in {C^{m \times n}}$ \[rank(A) = rank({A^H}) = rank(A{A^H}) = rank({A^H}A)\] 引理：$AX=0$和$A^HAX=0$有相同的解 \[\begin{array}{l}AX = 0 \Rightarrow { 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:48 codeDog123 阅读(677) 评论(0) 推荐(0)

广义逆阵
摘要：广义逆阵$A^+$ 设$A=A_{n \times n}$，具有如下四个性质： (1)$AXA=A$ (2)$XAX=X$ (3)$(AX)^{H}=AX$ (4)$(XA)^{H}=XA$ 称$X$为$A$的广义逆阵，记为$X=A^+$ 常见的$A^+$： (1)$0_{m \times n}^+ 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:48 codeDog123 阅读(220) 评论(0) 推荐(0)

正规阵
摘要：正规阵定义：方阵A有$A^HA=AA^H=I$，$A \in C^{n \times n}$ 常见正规阵： (1)Hermite阵都是正规阵 (2)斜Hermite阵都是正规阵 (3)酉阵都是正规阵 (4)对角阵都是正规阵 正规阵的性质： (1)若$A = \left[ {\begin{array} 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:47 codeDog123 阅读(603) 评论(0) 推荐(0)

SVD分解
摘要：正奇异值：设$A=A_{m \times n}, rank(A)=p>0$，则$\lambda ({A^H}A)$与$\lambda (A{A^H})$恰有p个正特征根，${\lambda _1} > 0,{\lambda _2} > 0,...,{\lambda _p} > 0$ $\lambda 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:46 codeDog123 阅读(197) 评论(0) 推荐(0)

最小二乘解
摘要：定义：任意$A=A_{m \times n}$，方程$AX=b$可产生新方程$A^HAX=A^Hb$，叫$AX=b$的正规方程。 引理：正规方程组$A^HAX=A^Hb$一定有解（相容），且有特解$X_0=A^+b$(使$A^HAX=A^Hb$) 证明： \[{A^H}A{X_0} = {A^H}A 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:45 codeDog123 阅读(1470) 评论(0) 推荐(0)

特征根求解
摘要：秩1方阵公式：若方阵$A=A_{n \times n}, rank(A)=1$，则有如下性质 (1)有分解： \[{\rm{A}} = \alpha \beta = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}&{...}&{{a_n}}\end{ar 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:44 codeDog123 阅读(937) 评论(0) 推荐(0)

向量范数与矩阵范数
摘要：向量范数： 性质： (1)正性：$||X||>0$且$||X|| \Leftrightarrow X=0$ (2)奇性：$||kX||=|k|||X||$ (3)三角形：$||X+Y|| \le ||X|| + ||Y||$，推论$| ||X|| - ||Y|| | \le ||X-Y||$ 范数定 阅读全文

posted @ 2019-01-07 01:42 codeDog123 阅读(1049) 评论(0) 推荐(0)

单阵和谱分解
摘要：矩阵可对角化的充要条件：n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个无关的特征向量。 证明： 必要性：证${P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0 阅读全文

posted @ 2019-01-03 21:58 codeDog123 阅读(1344) 评论(0) 推荐(0)

酉阵和QR分解
摘要：酉阵（Unitary Matrix）：复数域上的矩阵 内积：$X,Y \in C^{n}, k \in C$ 内积$(X,Y)$定义为: \[(X,Y) = {Y^H}X = {x_1}{\overline y _1} + {x_2}{\overline y _2} + {x_3}{\overlin 阅读全文

posted @ 2019-01-01 03:37 codeDog123 阅读(919) 评论(0) 推荐(0)

导航