单阵和谱分解

矩阵可对角化的充要条件：n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个无关的特征向量。

 

证明：

必要性：证${P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right] \Rightarrow P = [\begin{array}{*{20}{c}}{{X_1}}&{{X_2}}&{...}&{{X_n}}\end{array}]$

\[{P^{ - 1}}AP = D \Rightarrow AP = PD \Rightarrow A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{...}&{{\alpha _n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{...}&{{\alpha _n}}
\end{array}} \right]D \Rightarrow \left[ {A\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1}}&{A{\alpha _2}}&{...}&{A{\alpha _n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}{\alpha _1}}&{{\lambda _2}{\alpha _2}}&{...}&{{\lambda _n}{\alpha _n}}
\end{array}} \right]\]

因为P可逆，则P的各列之间线性无关，并且$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$为特征向量，所以A有n个线性无关的特征向量。

单阵：$A = {A_{n \times n}}$为单阵$\Leftrightarrow A \sim D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right]$$\Leftrightarrow {P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda _1}}&0&0&0\\0&{{\lambda _2}}&0&0\\0&0&{...}&0\\0&0&0&{{\lambda _n}}\end{array}} \right]$$\Leftrightarrow P = ({X_1},{X_2},...,{X_n})$，$X_k$均为无关特征向量

 

 

单阵判定定理：

(1)$A=A_{n \times n}$为单阵$ \Leftrightarrow $A有n个无关的特征向量

(2)$A=A_{n \times n}$为单阵$ \Leftrightarrow $A的每个k重根恰有k个无关特征向量

用法：A的任一一个k重根(k>1)，$\lambda \in \lambda (A)$：

(i)若$rank(A-\lambda I)=n-k$，则A为单阵

(ii)若$rank(A-\lambda I) \ne n-k$，则A不为单阵

(3)若方阵A有n个互异根，则A必为单阵

(4)

(i)设A有k个互异根$ \lambda_1, \lambda _2,...,\lambda _k (k \le n)$，若$(A-\lambda _1)(A-\lambda _2)...(A-\lambda _k) = 0 $，则A为单阵

(ii)设A有k个互异根$ \lambda_1, \lambda _2,...,\lambda _k (k \le n)$，若$(A-\lambda _1)(A-\lambda _2)...(A-\lambda _k) \ne 0 $，则A不为单阵

(5)若$f(x)$无重根，且f(A)=0，则A为单阵

 

单阵谱分解：

A为单阵，则有

\[{P^{ - 1}}AP = D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0&0\\
0&{{\lambda _2}}&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right]\]

令

\[D = {\lambda _1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&0
\end{array}} \right] + {\lambda _2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&0
\end{array}} \right] + ... + {\lambda _n}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&{...}&0\\
0&0&0&1
\end{array}} \right] = {\lambda _1}{E_1} + {\lambda _2}{E_2} + ... + {\lambda _n}{E_n}\]

由$P^{-1}AP=D \Rightarrow  A=PDP^{-1}$

 \[A = {P^{ - 1}}DP = {P^{ - 1}}({\lambda _1}{E_1} + {\lambda _2}{E_2} + ... + {\lambda _n}{E_n})P = {\lambda _1}{P^{ - 1}}{E_1}P + {\lambda _2}{P^{ - 1}}{E_2}P + ... + {\lambda _n}{P^{ - 1}}{E_n}P\]

令$F_{i}=PE_{i}P^{-1}$

\[A = {\lambda _1}{F_1} + {\lambda _2}{F_2} + ... + {\lambda _n}{F_n}\]

单阵谱分解公式：

若$A=A_{n \times n}$为单阵，全体不同根为$t_{1},t_{2},...,t_{k}$：

则有：

\[A = {t_1}{G_1} + {t_2}{G_2} + ... + {t_k}{G_k}\]

$G_{i}=\lambda_i P \sum {E_{k}}  P^{-1}=t_i \sum{F_k}$

$G_i$的性质：

(1)$G_1+...+G_k=I$

(2)$G_{i}G_{j}=0$

(3)$G_i^{2}=G_{i}$，$G_{1},G_{2},...,G_{k}$称为“谱阵”

(4)$A^p=t_1^{p}G_{1}+t_2^{p}G_{2}+...+t_k^{p}G_{k}$

(5)任意多项式：$f(x)=c_0+c_1x+...=c_px^p$有：

\[f(A) = f({t_1}){G_1} + f({t_2}){G_2} + ... + f({t_k}){G_k}\]

 

求解$G_i$：

A为单阵：

\[f(x) = (x - {t_1})(x - {t_2})...(x - {t_k}) \Rightarrow f(A) = (A - {t_1})(A - {t_2})...(A - {t_k}) = 0\]

令

\[f(x) = (x - {t_2})...(x - {t_k}) \Rightarrow f(A) = (A - {t_2})...(A - {t_k}) = f({t_1}){G_1} + f({t_2}){G_2} + ... + f({t_k}){G_k}\]

其中$f(t_2)=...=f(t_k)=0$，所以：

\[f(A) = (A - {t_2})...(A - {t_k}) = f({t_1}){G_1} \Rightarrow {G_1} = \frac{{f(A)}}{{f({t_1})}} = \frac{{(A - {t_2})...(A - {t_k})}}{{f({t_1})}}\]

同理可求得$G_2,...,G_k$

 

谱分解的平方根：若$A \ge 0$且有谱公式$A = {\lambda _1}{G_1} + {\lambda _2}{G_2} + ... + {\lambda _k}{G_k}$，则有平方根公式：

\[\sqrt A  = \sqrt {{\lambda _1}} {G_1} + \sqrt {{\lambda _2}} {G_2} + ... + \sqrt {{\lambda _k}} {G_k}\]

 

逆谱公式：若$A为单阵，且全体不同根非0，谱公式$A = {\lambda _1}{G_1} + {\lambda _2}{G_2} + ... + {\lambda _k}{G_k}$，则有逆谱根公式：

\[{A^{ - 1}} = \lambda _1^{ - 1}{G_1} + \lambda _2^{ - 1}{G_2} + ... + \lambda _k^{ - 1}{G_k}\]

 

其他性质：

(1)$AG_i=\lambda_iG_i$

(2)

引理：若$AP=tP$，则P中各列都是t的特征向量

证明：$A=[X_1,X_2,...,X_n]$

\[AP = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{A{X_1}}&{A{X_2}}&{...}&{A{X_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t{X_1}}&{t{X_2}}&{...}&{t{X_n}}
\end{array}} \right] = tP\]

若$(A-t)P=0$，则P中各列都是t的特征向量

(3)谱公式的全体谱阵的列都是特征向量，分别是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$的特征向量

(4)A为单阵，谱阵$G_1,G_2,...,G_k$中恰有n个无关的特征向量。

证明：即证明$rank(G_1,G_2,...,G_k)=n$即可

$rank(mn) \le min(rank(m),rank(n))$

$rank(A_{m \times n}) \le min(m,n)$

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_1}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{{I_2}}\\
{...}
\end{array}}\\
{{I_k}}
\end{array}} \right] = {G_1} + ... + {G_k} = {I_{n \times n}}\]

\[rank({I_{n \times n}}) = n \le rank(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right]) \le \min (n,nk) = n \Rightarrow rank(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{G_1}}&{{G_2}}&{...}&{{G_k}}
\end{array}} \right] = n\]

 

遗传公式：

(1)$f(x)$为任意多项式

\[\lambda (A) = \{ {\lambda _1},{\lambda _2},...,{\lambda _n}\}  \Rightarrow \lambda [f(A)] = \{ f({\lambda _1}),f({\lambda _2}),...,f({\lambda _n})\} \]

(2)若A有n个特征向量$x_1,x_2,...,x_n$，则f(A)也有相同的特征向量$x_1,x_2,...,x_n$，且$f(A)x_1=f(\lambda_1)x_1,f(A)x_1=f(\lambda_1)x_2,...,f(A)x_1=f(\lambda_1)x_n$

 

Cayley-Hamilton定理：$A=A_{n \times n}$，A的特征多项式为$f(\lambda ) = \left| {\lambda I - A} \right|$，必有$f(A)=0$

零化式：根据Cayley-Hamilton定理，矩阵A必然存在函数$f(x)$，使得f(A)=0，称f(x)为A的零化式，也称多项式f(x)以A为根。

 

最小零化式(极小式或者最小多项式)：固定$A=A_{n \times n}$，次数最低的首项系数为1的那个多项式$f(A)$称为A的最小零化式，记作$m_A(x)$。

 

极小式性质：

(1)矩阵A的极小式是唯一的

(2)A的极小式为$m_A(\lambda)$，且$f(A)=0$(即f(x)以A为根)，则$m_A(x)|f(x)$，这里的"|"符号为整除符号。

(3)A的极小式是A的特征多项式的一个因子，也可记为“${m_A}(x)|\left| {\lambda I - A} \right|$”。

(4)A的极小式和A的特征多项式$f(x)$有相同的根。

证明：

　　由(3)得到，$m_A(x)$的根一定是$f(x)$的根。

　　下面证明$f(x)$的根一定是$m_A(x)$的根，也就是证明A的特征根都是$m_A(x)$的根：

　　任意A的特征根$\lambda_i$和$x_i$，根据$\lambda [f(A)] = \{ f({\lambda _1}),...,f({\lambda _n})\} $有

　　${m_A}(A){X_i} = {m_A}({\lambda _i}){X_i}$，因为$m_A(A)=0$则有：

　　${m_A}(A){X_i} = {m_A}({\lambda _i}){X_i} = 0$

　　因为$X_i$不为0，所以${m_A}({\lambda _i})=0$，也就是任意A的根$\lambda_i$为最小式的根，得证。

(5)相似的方阵具有相同的最小多项式。

(6)A为分块矩阵：

\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_1}}&0\\
0&{{A_2}}
\end{array}} \right]\]

则A的极小式为$A_1$的极小式和$A_2$的极小式的最小公倍数。