[CF585E]Marbles

Description:

给定一个序列 \(a_i\) ，每次可以交换相邻两个元素，求使序列变成若干个极大连续段，每个极大连续段内部的值相同且任意两个极大连续段的值互不相同。

\(n\le 4\times 10^5, a_i\le 20\)

Solution:

由于值域很小，启发我们从值域入手，考虑每一种颜色。

设 \(cnt[i][j]\) 表示在只考虑颜色 \(i\) 和 \(j\) 的情况下，把所以颜色 \(i\) 都移到所有颜色 \(j\) 的前面的步数，这个对每一个颜色用 \(\text{vector}\) 存下出现的位置（从小到大），用 \({\rm two\ pointers}\) 扫一下即可求得 。

考虑状压每一种颜色，二进制下为1表示这个位的颜色已经被安排好了。

设 \(dp[S]\) 表示 \(S\) 的颜色已经安排好在序列的前面且两两不交的最小步数，那么转移就枚举一个不在 \(S\) 中的点 \(i\) ，把 \(i\) 放在考虑完的 \(S\) 的后面，那么产生的步数就是把 \(S\) 放在 \(i\) 的前面的步数，通过 \(cnt[][i]\) 可以求得。

Code:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;

#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;

using namespace std;

inline void proc_status()
{
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}

template<class T> inline T read() 
{
	register T x(0);
	register char c;
	register int f(1);
	while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
	while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
	return x * f;
}

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = 4e5;
const int maxM = 20;

int n;
vector<int> col[maxM + 1];
LL cnt[maxM + 1][maxM + 1];
LL dp[1 << maxM];

void Input()
{
	n = read<int>();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int x = read<int>();
		col[x].push_back(i);
	}
}

void Init()
{
	for (int i = 1; i <= 20; ++i)
		for (int j = 1; j <= 20; ++j)
			if (i != j) 
			{
				if (!col[i].size() || !col[j].size()) continue;
				int l = 0;
				for (int k = 0; k < SZ(col[i]); ++k)
				{
					while (true)
					{
						if (l == SZ(col[j]) - 1 || col[j][l + 1] > col[i][k])
							break;
						l++;
					}
					if (col[j][l] < col[i][k])
						cnt[i][j] += l + 1;
				}
			}
}

void Solve()
{
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);

	dp[0] = 0;
	for (int S = 0; S < 1 << maxM; ++S)
	{
		for (int i = 0; i < maxM; ++i)
			if (!(S >> i & 1))
			{
				LL sum(0);
				for (int j = 0; j < maxM; ++j)
					if (S >> j & 1)
						sum += cnt[j + 1][i + 1];
				chkmin(dp[S | (1 << i)], dp[S] + sum);
			}
	}

	cout << dp[(1 << maxM) - 1] << endl;
}

int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("CF585E.in", "r", stdin);
	freopen("CF585E.out", "w", stdout);
#endif
	Input();
	Init();
	Solve();
	return 0;
}