[BZOJ4403]序列统计

Description

给定三个正整数N、L和R，统计长度在1到N之间，元素大小都在L到R之间的单调不降序列的数量。输出答案对 \(10^6+3\) 取模的结果。

\(N,L,R\le 10^9\)

Solution

设 \(cnt = R - L + 1\)，即不同元素个数。

问题等价为：选若干个不同的数按小到大的顺序分到序列上的前几个位置，那么这样构造出来的序列就是满足条件的。

先枚举序列长度 \(i\) ，然后枚举出现了几种不同的数 \(j\) ，于是有：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{cnt} {cnt\choose j}{i - 1\choose j - 1} \]

\(cnt s\choose j\) 是选 \(j\) 个不同的数，\(i - 1\choose j - 1\) 是把 \(j\) 种数分配到长度为 \(i\) 的序列上去，相当于把序列分成 \(j\) 份，就是 \(i-1\) 个位置插 \(j-1\) 个板。

观察这个式子的组合意义或者是用范德蒙德卷积化简：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{cnt} {cnt\choose j}{i - 1\choose j - 1} = \sum_{i=1}^n{i + cnt - 1\choose cnt - 1} \]

由组合恒等式：

\[\sum_{i=0}^n{i + x\choose x}={n + x + 1\choose x + 1} \]

答案就是:

\[{n + cnt\choose cnt} - 1 \]

Lucas搞一下就好了。

code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <fstream>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;

#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;

using namespace std;

inline void proc_status()
{
	ifstream t("/proc/self/status");
	cerr << string(istreambuf_iterator<char>(t), istreambuf_iterator<char>()) << endl;
}

template<class T> inline T read() 
{
	register T x(0);
	register char c;
	register int f(1);
	while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
	while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
	return x * f;
}

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = (int) 1e6 + 3;
const int mod = (int) 1e6 + 3;

int fac[maxN + 2], ifac[maxN + 2];

LL qpow(LL a, LL b) 
{
	LL ans(1);
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

void init()
{
	fac[0] = 1;
	for (register int i = 1; i < mod; ++i) fac[i] = (LL) fac[i - 1] * i % mod;
	ifac[mod - 1] = qpow(fac[mod - 1], mod - 2);
	for (register int i = mod - 2; i >= 0; --i) ifac[i] = (LL) ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

int C(int n, int m)
{
	if (n < m) return 0;
	return (LL)fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}

int Lucas(LL n, LL m)
{
	if (n < m) return 0;
	if (m == 0) return 1;
	return (LL)Lucas(n / mod, m / mod) * C(n % mod, m % mod) % mod;
}

int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ4403.in", "r", stdin);
	freopen("BZOJ4403.out", "w", stdout);
#endif
	init();
	int T;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		LL n, R, L, cnt;
		cin >> n >> L >> R;
		cnt = R - L + 1;
		cout << ((LL)Lucas(n + cnt, cnt) + mod - 1) % mod << endl;
	}
	return 0;
}