【学习笔记】复杂度问题

复杂度问题

前置知识：复杂度。

P

他的意思就是：存在一个算法，能在多项式时间解决该问题。

形式化的：

问题属于 \(P\)，而且仅当存在图灵机中可以用 \(O(n^k)\) 的时间判定他

所有的多项式时间都可以称为P问题

NP

他的意思就是：给定一个解，可以在多项式时间内验算出来。

形式化的：

问题属于 \(\text{NP}\)，仅当存在非确定型图灵机可以在多项式时间验算他。

等价的：存在多项式时间验算器 \(V\)，使得：

\(x\) 是一个实例且 \(x \in L\)，其中 \(L\) 是一种语言。

且存在证书 \(y\)，其中 \(y\) 为候选解，且 \(|y| \le p(n)\)

且：\(V(x,y)\) 是接受的。

如何理解：

其中 \(V\) 是验算器，相当于一个函数，对于每一组输入 \(a, b\)，他会输出“接受”和“拒绝”。

语言可以自行查询。

其中 \(|y|\le p(n)\)，\(p\) 为某个多项式。

如果 \(|y| > p(n)\) 那么 \(y\) 就是一个指数级别的算法。

为什么是非确定性图灵机和他的性质有关，自行查阅。

整个式子的含义就是：

若答案真的是“是”，那么就一定可以找到一个足够短的证明 \(y\)，让验证器 \(V\) 接受。

这保证了真命题一定有答案，且不会漏掉正确答案。

反之：

如果存在证书 \(y\) 使得 \(V(x,y)\) 接受，那么 \(x\) 是实例。

这保证了假命题不会被证明，且不能被欺骗。

归约

前置知识。

规约的核心思想是：如果解决 \(B\) 的方法可以解决 \(A\)，那么称 \(A\) 归约到 \(B\)。

比如：

• 一个人是否成年可以归约为年龄是否为 \(18\)

形式化的：

若 \(A\) 和 \(B\) 是判定问题，若存在可计算函数 \(f (f \in F)\)，使得对于任意 \(x\)：

\(x \in A \Longleftrightarrow f(x) \in B\)

称 \(A\) 归约到 \(B\)。

在形式化一点的：
\(\exists f \in F. \forall x \in \mathbb{N}. x\in A \Leftrightarrow f(x) \in B\)

我们写作：

\(A \le_F B\)

注意到：

\(A \le_F B\) 他的意思是：

• 规约的方向是 \(A \to B\)。

• 难度的方向是 \(B \ge A\)，因为只是 \(\exists f \in F\)，说明 \(B\) 的能力更强，反之，会 \(A\) 不一定会 \(B\)。

NP-Hard

如果所有 \(\text{NP}\) 问题都能用多项式时间归约到问题 \(H\)，那么称：\(H\) 是 \(\text{NP-Hard}\)

形式化的：

\(H\) 是 \(\text{NP-Hard}\)，而且仅当任意 \(L \in \text{NP}\)，都有 \(L \le_p H\)

不难发现：

• \(\text{NP-Hard}\) 问题至少和 \(\text{NP}\) 中最难的问题一样难。

• 如果 \(\text{H}\) 能被多项式时间解决，那么所有 \(\text{NP}\) 问题都能被多项式时间解决，即 \(\text{P = NP}\)。

所以：

• \(\text{NP-hard}\) 不一定属于 \(\text{NP}\)

• \(\text{NP-hard}\) 不一定可以判定。

• \(\text{NP-hard}\) 可以比 \(\text{NP}\) 难得多。

NP-Complete

\(\text{NP-Complete} = \text{NP} \cap \text{NP-Hard}\)

即：

• \(\text{NP-Complete} \in \text{NP}\)

• 任何 \(\text{NP}\) 问题都可以归约到 \(\text{NP-Complete}\)

不难发现：

• \(\text{NP-Complete}\) 是 \(\text{NP}\) 中“最难”的问题。

• 只要有一个 \(\text{NP-Complete}\) 问题有多项式算法，那么 \(\text{P = NP}\)。（来自\(\text{NP-Hard}\)）

证明有点难，有没有人教教我qwq。

DTIME、NTIME

前置知识。

给定时间函数 \(t(n)\)，定义：

\(DTIME(t(n))\) 为所有能在 \(O(t(n))\) 时间内被确定性图灵机判定的语言/问题的集合。

比如：\(\text{DTIME}(n^2)\) 表示在 \(O(n^2)\) 时间内能解决的问题。

不难发现

\[P = \bigcup_{k \ge 1} DTIME(n^k) \]

对应的，也有 \(\text{NTIME}\)，对应的定义是非确定性图灵机的。

\[NP = \bigcup_{k \ge 1} NTIME(n^k) \]

EXP、NEXP、EXPSPACE

类	资源	限制
EXP	时间	指数
NEXP	时间	非确定性指数
EXPSPACE	空间	指数

EXP

\(\text{EXP}\) 又称 \(\text{EXPTIME}\)。

问题属于 \(\text{EXP}\)，当且仅当存在一个确定性图灵机，在 \(O(2^{n^k})\) 的时间判定。

形式化的：

\[\text{EXP} = \bigcup_{k \ge 1} \text{DTIME}(2^{n^k}) \]

也就是说，只要时间是指数级的，就属于 \(\text{EXP}\)。

比如：

• 广义国际象棋

• 广义跳棋

• 某些电路求值问题

不难发现：

\[P \subseteq \text{EXP} \]

而且：

\[P \subsetneq \text{EXP} \]

这是严格包含，由时间层次定理保证。

也就是说，确实存在一些问题，能在指数时间解决，但不可能在多项式时间解决。

但注意：

\[NP \subseteq \text{EXP} \]

是否严格，目前未知。因为如果 \(P = NP\)，那么 \(NP\) 可能等于 \(P\)，但仍然小于 \(\text{EXP}\)。

NEXP

\(\text{NEXP}\) 又称 \(\text{NEXPTIME}\)。

问题属于 \(\text{NEXP}\)，当且仅当存在一个非确定性图灵机，在 \(O(2^{n^k})\) 的时间判定。

形式化的：

\[\text{NEXP} = \bigcup_{k \ge 1} \text{NTIME}(2^{n^k}) \]

直觉上，\(\text{NEXP}\) 就是 \(\text{EXP}\) 的“非确定性版本”，就像 \(NP\) 是 \(P\) 的非确定性版本。

它对应：

存在一个指数长度的证书，可以在指数时间内验证。

也就是说：

类	证书长度	验证时间
NP	多项式	多项式
NEXP	指数	指数

比如：

• 广义棋类加上复杂规则

• 某些组合优化问题的指数版本

• 简洁表示的图上的问题

不难发现：

\[\text{EXP} \subseteq \text{NEXP} \]

因为确定性是非确定性的特例。

还有：

\[NP \subseteq \text{NEXP} $$\]

\text{NEXP} \subseteq \text{EXPSPACE}

\[ 是否严格，很多未知。 ### EXPSPACE > 问题属于 $\text{EXPSPACE}$，当且仅当存在一个确定性图灵机，使用 $O(2^{n^k})$ 空间判定。 形式化的： \]

\text{EXPSPACE} = \bigcup_{k \ge 1} \text{DSPACE}(2^{nk})

\[ 也就是说，空间是指数级的，时间不限。 比如： - 带指数级内存的自动机 - 某些形式语言判定问题 - 广义棋类加上记忆 - 某些逻辑理论判定问题 不难发现： \]

\text{PSPACE} \subseteq \text{EXPSPACE}

\[ 而且： \]

\text{PSPACE} \subsetneq \text{EXPSPACE}

\[ 这是严格包含，由空间层次定理保证。 还有： \]

\text{NEXP} \subseteq \text{EXPSPACE}

\[ 因为非确定性空间可以确定性地模拟，代价是空间指数增长。 ### 他们之间的关系 目前已知： \]

P \subseteq NP \subseteq \text{PSPACE} \subseteq \text{EXP} \subseteq \text{NEXP} \subseteq \text{EXPSPACE}

\[ 其中： - $P \subsetneq \text{EXP}$ 已知严格 - $\text{PSPACE} \subsetneq \text{EXPSPACE}$ 已知严格 - 其他很多是否严格未知 一个常见误解是： > 指数时间肯定比多项式空间强。 不一定。 - $\text{PSPACE}$ 允许时间无限长，只限制空间 - $\text{EXP}$ 限制时间指数，但空间可能很大 - 两者不可直接比较 已知： \]

\text{PSPACE} \subseteq \text{EXP}

\[ 因为多项式空间图灵机最多有指数个配置，所以可以在指数时间内模拟。 但： \]

\text{EXP} \subseteq \text{PSPACE}?

\[ 未知。\]