【学习笔记】群论

群

基本概念

定义

设 $G$ 是非空集合。

定义运算符号 "$\cdot$" 为 $G \times G \to G$。

$G \times G$是什么

他表示两个集合的笛卡尔积，表示所有有序对$(a, b)$的集合，即：

\[G \times G = \{(a, b) \mid a \in G, b \in G\} \]
就比如 $G = \{1,2,3\}$

$G \times G$ 就有 $3 \times 3 = 9$个元素

就是

\[(1,1),(1,2)...(3,2),(3,3) \]
$\to$ 是啥

$\to$ 表示映射

就是映射的意思，可以理解于 $=$

定义 $(G,\cdot)$ 为一个运算符为 $\cdot$ 的群

为什么要写 $(G, \cdot)$ 而不是写 $G$

因为还要表示符号

比如：

$(\mathbb{Z}, +)$ 是一个群

$(\mathbb{Z}, \times)$ 不是一个群

如何辨别是否是群？

封闭性：运算结果一定在群中${}$

结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

单位元：存在特殊元素 $e$ 如何运算都不会变（用来作为基准的）

逆元：对于每个 $a$，都存在 $b$ 使得 $a \cdot b = b \cdot a = e$

为什么需要逆元？

这样可以方便进行逆向操作

并且必须满足条件

封闭性：运算结果一定在群中${}$
结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
单位元：存在特殊元素 $e$ 如何运算都不会变（用来作为基准的）
逆元：对于每个 $a$，都存在 $b$ 使得 $a \cdot b = b \cdot a = e$

基本性质

对于群 $(G, \cdot)$

Part.1

任意 $k$ 个元素 $g_1,g_2,\dots g_k$，任意加括号方式相同

当 $k = 1,2$ 时显然成立

假设 $k = n$ 时成立

考虑 $k = n + 1$ 的任意括号方式，最后一次运算一定为：

\[(g_1 \cdots g_i) \cdot (g_{i + 1} \cdots g_{n + 1}) \]

其中 $1 \le i \le n$。

只需要找到一个参照物进行对比证明相同即可

为了方便，我们取左结合标准形式作为基准

所以，我们假设：

对于任何少于 $n + 1$ 个元素的乘积，任意加括号方式相同，且都等于左结合形式

定义 $L_i$ ：

\[L_i = (((g_1 \cdot g_2) \cdot g_3) \cdots ) \cdot g_i \]

所以，当 $i = n$ 时：

\[(g_1 \cdots g_n) \cdot g_{n + 1} = L_n \cdot g_{n + 1} = L_{n + 1} \]

当 $i < n$ 时，由归纳假设：

\[(g_1 \cdots g_i) = L_i,(g_{i + 1} \cdots g_{n + 1}) = L_{n + 1 - i} ' \]

为什么写成 $L_{n + 1 - i} '$ 而不是 $L_{n + 1 - i}$

后者 $L_{n + 1 - i}$ 表示从 $g_1$ 开始的左结合形式

而前者 $L_{n + 1 - i} '$ 表示从 $g_{i + 1}$ 开始的形式

所以：

\[(L_i \cdot g_{i + 1}) \cdot (g_{i + 2} \cdots g_{n + 1}) = L_i \cdot (g_{i + 1} \cdot (g_{i + 2} \cdots g_{n + 1})) \]

再按照这样逐步推进：

\[(g_1 \cdots g_i) \cdot (g_{i + 1} \cdots g_{n + 1}) = L_{n + 1} \]

Part.2

证明：单位元唯一

假设$x, y$ 均为单位元

证明

\[x \cdot y = x\\ x \cdot y = y\\ x = x \cdot y = y\\ x = y \]

Part.3

证明：逆元唯一

已知 $a \in G$，$x, y$都是 $a$ 的逆元

证明

\[a \cdot x = x \cdot a = e\\ a \cdot y = y \cdot a = e\\ x = x \cdot e\\ x \cdot e = x \cdot (a \cdot y) （e带入）\\ x \cdot (a \cdot x) = x \cdot (a \cdot y) \\ x \cdot a \cdot x = x \cdot a \cdot y \\ x = y （消去律） \]

Part.4

证明：右消去律

已知 $a \cdot c = b \cdot c$，证明 $a = b$

证明

\[a \cdot c = b \cdot c\\ (a \cdot c) \cdot c^{-1} = (b \cdot c) \cdot c^{-1}\\ a \cdot (c \cdot c^{-1}) = b \cdot (c \cdot c^{-1})\\ a \cdot e = b \cdot e\\ a = b \]

证明：左消去律

已知 $c \cdot a = c \cdot b$，证明 $a = b$

加法结合律更换位置即可

例子

是群的例子

对称群

元素：集合的重新排列

运算：映射的复合

复合：写作 $\circ$ ，$f \circ g$ 表示先做 $g$ 再在 $g$ 的成果后再 $f$

注意是从后往前的

假设集合 $M = \{1,2,3\}$

定义映射 $g$：$1 \to 2, 2\to 3, 3 \to 1$

定义映射 $f$：$1 \to 1, 2\to 3, 3 \to 2$

对于 $f \circ g$ 计算：

1：$f(g(1)) = f(2) = 3$

2：$f(g(2)) = f(3) = 2$

3：$f(g(3)) = f(1) = 1$

所以 $(f \circ g)(1) = 3 \cdots$

单位元：恒等变换

逆元：逆映射（变回去）

空间对称群

元素：让图形不变的操作

运算：动作的复合

比如正方形对称群 $D_4$

他旋转$0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ},270^{\circ}$

左右翻转，镜像倒转等

加法群$(\mathbb{Z}, +)$

元素：$\mathbb{Z}$

运算：加法

单位元：$0$ 任何数加 $0$ 不变

逆元：相反数

整数模 $n$ 乘法群

$((\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) ^ {\times}, \times)$

符号	含义	解释
$\mathbb{Z}$	整数集合	$…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…$
$n\mathbb{Z}$	n 的倍数集合	例如 $5Z={…,−10,−5,0,5,10,…}$
$\mathbb{Z/{n}Z}$	模 n 的剩余类环	把整数按“除以 $n$ 余几”分类，得到的 $n$ 个盒子$(0,1,2,...,n-1)$。也叫“模 $n$ 加法群”。
$(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) ^ {\times}$	取其中可逆元（单位群）	从 $n$ 个盒子里，只挑出那些“有乘法逆元”的盒子。这些盒子里的数必须与 $n$ 互质。

元素：与 n 互质的剩余类（比如模5时，元素是 {1,2,3,4}）。

运算：先乘起来，再除以 n 取余数。

单位元：1（任何数乘1取模还是自己）。

逆元：乘法逆元比如模7时，3的逆元是5，因为 3×5=15≡1(mod7)）。

为什么叫：乘法群因为跟 n 互质的数才有倒数（逆元），保证了所有元素都有“撤销”操作。

还有很多很多神奇的群...

不是群的例子

集合$M$所有映射

集合：集合 M 到自身的所有映射（包括满射、单射、既不满射也不单射的）。
运算：映射的复合。
死因：不是所有元素都有逆元。

详解：
在映射复合下，只有双射（一一对应）才有逆映射。如果集合里有个映射把两个不同的元素映到同一个点（比如 $ f(1)=1,f(2)=1$），那么没有任何映射能把它“变回来”变成恒等映射。因为一旦信息丢失（$2$和$1$合并了），就再也分不开了。

等...

类群

半群

对于非空集合 $G$ 和其上的二元运算 $\cdot$ $\cdot$ ，如果该运算满足结合律，则称 $(G, \cdot)$ $(G,\cdot)$ 是一个半群（semigroup）．

幺半群

对于半群 $(G, \cdot)$ $(G,\cdot)$ ，如果它还存在单位元，则称 $(G, \cdot)$ 是一个 幺半群（monoid）．

比如：

$(N_{+}, +)$ 是一个半群
而 $(Z, \times)$ 是幺半群

交换群（Abel群）

对于群 $(G, \cdot)$ 如果运算 $\cdot$ 满足交换律，那么称 $(G, \cdot)$ 是 Abel 群（交换群）

比如：

整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个 Abel 群
当 $n \ge 3$ 时，对称群 $S_n$ 就不是 Abel 群，因为不满足交换群

群的结论

我要说的是一些关于群的结论。

一下讨论均以 $(G, \cdot)$ 为标准群，$e$ 为单位元。

且默认你知道之前的所有内容。

子群、陪集

子群的定义

假如群 $G$ 的子群 $H$ 也是群，那么称 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H \le G$

如何验证是否是子群？

要求：$H \not= \empty$;

是一个封闭的;

对于 $a \in H$，$a^{-1} \in H$。

对于结合论：因为 $H \in G$，所以元素指挥在 $G$ 里的，而结合律会从其继承下来。

我们称： $\{e\}$ 为最小子群，$G$ 为最大子群。

How to 证明？

对于 $\{e\}$：

$e$ 为 $G$ 的单位元，所以对于所有要求都是成立的。

对于 $G$：

取 $H = G$：

因为 $G$ 是一个群，所以满足所有要求。

所以，$G \le G$ 且 $\{e\} \le G$

我们称：$a \sim b$ 为：存在 $h \in H$ 使得 $a = bh$。

即：$a$ 和 $b$ 是等阶的。

等价关系的验证

自反性：$a \sim a$

取 $h = e \in H$，则 $a = a \cdot e$，所以 $a \sim a$。

对称性：若 $a \sim b$，则 $b \sim a$

若 $a = bh$，两边左乘 $h^{-1}$ 得 $b = a h^{-1}$。
因为 $H$ 是子群，所以 $h^{-1} \in H$，故 $b \sim a$。

传递性：若 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，则 $a \sim c$

若 $a = bh_1$，$b = ch_2$，代入得 $a = c h_2 h_1$。
因为 $H$ 是子群，所以 $h_2 h_1 \in H$，故 $a \sim c$。

结论：$\sim$ 是一个等价关系，它把 $G$ 分成若干互不相交的等价类。

右陪集

对于 $a \in G$，定义 $a$ 所在的等价类为：

\[aH = \{a \cdot h \mid h \in H\} \]

称为 $H$ 的一个右陪集（right coset）。

直观理解

拿 $a$ 去“平移”整个 $H$，得到的一个“块”。

比如 $G = (\mathbb{Z}, +)$，$H = 3\mathbb{Z}$：

$0 + H = \{\dots,-3,0,3,6,\dots\}$

$1 + H = \{\dots,-2,1,4,7,\dots\}$

$2 + H = \{\dots,-1,2,5,8,\dots\}$

一共 3 个右陪集，刚好把 $\mathbb{Z}$ 分完。

右陪集的性质

$a \in aH$（因为 $e \in H$，所以 $a = a \cdot e \in aH$）
$aH = H \iff a \in H$
$aH = bH \iff a \sim b \iff b^{-1}a \in H$
任意两个右陪集要么完全相同，要么完全不相交

为什么两个右陪集要么相同要么不相交？

因为它们是等价类！等价类的一个基本性质就是：不同的等价类互不相交。

假设 $aH \cap bH \neq \varnothing$，则存在 $x \in aH \cap bH$。

于是 $x = a h_1 = b h_2$，得 $a = b h_2 h_1^{-1}$，所以 $a \sim b$，从而 $aH = bH$。

所有右陪集大小相同，都等于 $|H|$

为什么？

定义映射 $\varphi: H \to aH$，$\varphi(h) = a \cdot h$。

这是一个双射（一一对应）：

单射：若 $a h_1 = a h_2$，由消去律得 $h_1 = h_2$

满射：$aH$ 的定义就是所有 $a \cdot h$

所以 $|aH| = |H|$。

拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）

设 $G$ 是有限群，$H \le G$。则：

\[|G| = |H| \times [G : H] \]

其中 $[G : H]$ 表示 $H$ 在 $G$ 中的指数，即不同右陪集的个数。

证明

所有右陪集构成 $G$ 的一个划分（等价类的性质）
每个右陪集大小都等于 $|H|$（上面已证）
设有 $k$ 个不同的右陪集，则：

\[|G| = \underbrace{|H| + |H| + \cdots + |H|}_{k \text{ 个}} = k \cdot |H| \]

所以 $|G| = |H| \cdot [G : H]$。

推论

子群的阶整除群的阶：$|H| \mid |G|$
元素的阶整除群的阶：对于 $a \in G$，$a$ 的阶（使得 $a^n = e$ 的最小正整数 $n$）整除 $|G|$
素数阶群一定是循环群：若 $|G| = p$ 是素数，则 $G$ 只有平凡子群 $\{e\}$ 和 $G$，且 $G \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

例子

$|S_3| = 6$，子群的阶只能是 $1, 2, 3, 6$。

实际上 $S_3$ 有：

阶 1：$\{e\}$

阶 2：$\{e, (12)\}$、$\{e, (13)\}$、$\{e, (23)\}$

阶 3：$\{e, (123), (132)\}$

阶 6：$S_3$ 本身

左陪集

类似地，可以定义左陪集：

\[Ha = \{h \cdot a \mid h \in H\} \]

对应等价关系：$a \sim b \iff a = hb$（存在 $h \in H$）。

左陪集和右陪集一样吗？

不一定！在非交换群中，$aH$ 和 $Ha$ 可能不同。

但当 $H$ 是正规子群时，$aH = Ha$ 对所有 $a$ 成立。

这时候左陪集和右陪集统一，可以定义商群 $G/H$。

正规子群与商群

正规子群的定义

设 $H \le G$。若对于所有 $a \in G$，都有：

\[aH = Ha \]

即 $aHa^{-1} = H$，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $H \trianglelefteq G$。

等价条件

$H \trianglelefteq G \iff$ 对于所有 $a \in G$，$h \in H$，都有 $a h a^{-1} \in H$。

商群

若 $H \trianglelefteq G$，则在陪集集合 $G/H = \{aH \mid a \in G\}$ 上定义运算：

\[(aH) \cdot (bH) = (ab)H \]

则 $(G/H, \cdot)$ 构成一个群，称为 $G$ 对 $H$ 的商群。

单位元：$eH = H$
逆元：$(aH)^{-1} = a^{-1}H$

为什么需要正规子群？

因为要保证运算良定义：如果 $aH = a'H$，$bH = b'H$，我们需要 $(ab)H = (a'b')H$。

这等价于 $H$ 是正规子群。

例子

$G = (\mathbb{Z}, +)$，$H = n\mathbb{Z}$。

因为加法交换，所以 $H$ 是正规子群。

商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{0, 1, \dots, n-1\}$，运算为模 $n$ 加法。

这正是我们熟悉的“模 $n$ 加法群”！

群同态

定义

设 $(G, \cdot)$ 和 $(G', *)$ 是两个群。映射 $\varphi: G \to G'$ 若满足：

\[\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) * \varphi(b) \]

对所有 $a, b \in G$ 成立，则称 $\varphi$ 是一个群同态。

重要概念

核：$\ker \varphi = \{a \in G \mid \varphi(a) = e'\}$
像：$\text{Im} \varphi = \{\varphi(a) \mid a \in G\}$

同态基本定理

\[G / \ker \varphi \cong \text{Im} \varphi \]

直观理解

同态是“保持结构的映射”。

核是“被压扁成单位元的部分”。

商群 $G/\ker\varphi$ 就是把核“压缩”成一个点后得到的群，它和像同构。

posted @ 2026-08-29 14:18 Axor 阅读(9) 评论(0) 收藏举报

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符号	含义	解释
\(\mathbb{Z}\)	整数集合	\(…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\)
\(n\mathbb{Z}\)	n 的倍数集合	例如 \(5Z={…,−10,−5,0,5,10,…}\)
\(\mathbb{Z/{n}Z}\)	模 n 的剩余类环	把整数按“除以 \(n\) 余几”分类，得到的 \(n\) 个盒子\((0,1,2,...,n-1)\)。也叫“模 \(n\) 加法群”。
\((\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}) ^ {\times}\)	取其中可逆元（单位群）	从 \(n\) 个盒子里，只挑出那些“有乘法逆元”的盒子。这些盒子里的数必须与 \(n\) 互质。

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