【题解】[AGC026C] String Coloring

[AGC026C] String Coloring 题解

题目分析

题目要求对长度为 \(2N\) 的字符串进行染色（红色或蓝色），使得：

1. 正向红色序列：从左到右读取所有红色字符组成的字符串。
2. 反向蓝色序列：从右到左读取所有蓝色字符组成的字符串。

结论：这两个序列必须完全一致。

直接暴力枚举每个字符的颜色复杂度为 \(O(2^{2N})\)，当 \(N=18\) 时会达到 \(2^{36}\)，显然不可行。因此我们需要使用 折半搜索 (Meet-in-the-middle)。

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核心算法：折半搜索

我们将字符串分成前后两部分，每部分长度均为 \(N\)。

1. 逻辑推导

假设前 \(N\) 个字符生成的红色和蓝色字符串分别为 \(R_1, B_1\)，后 \(N\) 个字符生成的红色和蓝色字符串分别为 \(R_2, B_2\)。

根据题意，最终的红色序列为 \(R_1 + R_2\)，最终的反向蓝色序列则是 \(B_2\) 的反转加上 \(B_1\) 的反转。

即：

\[R_1 + R_2 = \text{reverse}(B_2) + \text{reverse}(B_1) \]

为了方便匹配，我们拆分等式：

• \(R_1\) 必须等于 \(\text{reverse}(B_2)\)
• \(B_1\) 必须等于 \(\text{reverse}(R_2)\)

2. 具体步骤

1. 处理前半段：枚举 \(2^N\) 种染色方案，计算出对应的 \((R_1, B_1)\) 二元组，并利用 std::map<pair<string, string>, long long> 记录每种二元组出现的次数。
2. 处理后半段：枚举 \(2^N\) 种染色方案，计算出对应的 \((R_2, B_2)\)。
3. 匹配与合并：对于后半段的方案，构造查找键值 key = {reverse(B_2), reverse(R_2)}，在 map 中累加对应的次数。

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实现技巧：状态压缩

由于 \(N\) 较小，我们可以使用二进制状压枚举：

• 利用 (b >> i) & 1 判断第 \(i\) 位是红色（1）还是蓝色（0）。
• 前半段直接提取，后半段提取后进行 reverse 即可匹配。

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完整代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair <int, int> pi;
typedef pair <string, string> ps;
typedef long long ll;
#define all(x) x.begin(), x.end()
int main()
{
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;
    string s1 = s.substr(0, n), s2 = s.substr(n, 2 * n);
    map <ps, ll> mp;
    for (int b = 0; b < (1 << n); b++)
    {
        string rd, bl;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (b & (1 << i)) rd += s1[i];
            else bl += s1[i];
        }
        mp[{rd, bl}]++;
    }
    ll ans = 0;
    // mp.clear();
    for (int b = 0; b < (1 << n); b++)
    {
        string rd, bl;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (b & (1 << i)) rd += s2[i];
            else bl += s2[i];
        }
        // mp[{rd, bl}]++;
        string red = rd, blue = bl;
        reverse(all(red)), reverse(all(blue));
        auto key = make_pair(blue, red);
		if(mp.find(key) != mp.end()) ans += mp[key];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

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复杂度分析

• 时间复杂度：\(O(2^N \cdot N)\)。主要开销在二进制枚举和字符串操作上。
• 空间复杂度：\(O(2^N \cdot N)\)，用于存储 map。对于 \(N=18\)，此解法在时空限制内表现优秀。