【学习笔记】分层图

目录

• 分层图（Layered Graph）
  • 简介
  • 思想
  • 实现
    • 暴力建图
    • DP思想
  • 例题
    • [ABC395E] Flip Edge
    • 例题列表
  • 坑

分层图（Layered Graph）

简介

简单来说，如果你发现最短路问题中多了几个“特殊条件”（比如有 \(K\) 次免费机会、或者有 \(K\) 次翻倍机会），这就是分层图的用武之地。

思想

传统的图论节点通常只表示“位置”。但在分层图中，一个节点表示的是 (当前位置, 剩余机会/当前状态)。

• 普通图： 节点 \(u\) 表示你在城市 \(u\)。
• 分层图： 节点 \((u, k)\) 表示你在城市 \(u\)，且你已经使用了 \(k\) 次特殊机会。

实现

有两种常用方法：

暴力建图

直接在内存里建出 \(K+1\) 层图。

层内边： 每一层内部按照原图建边，权重不变。表示正常走。

层间边： 从第 \(i\) 层的 \(u\) 连向第 \(i+1\) 层的 \(v\)。权重设为“特殊代价”（如 0 或 原重的一半）。表示“消耗一次机会”。

终点： 最终结果通常是 \(\min(dist[target][0...K])\)。

DP思想

不需要真的把图画出来，而是在跑 Dijkstra 时增加一个维度。

• 定义 dist[u][k] 为到达 \(u\) 点且用了 \(k\) 次机会的最短路。
• 转移 1： dist[v][k] = dist[u][k] + weight （正常走）
• 转移 2： dist[v][k+1] = dist[u][k] + 0 （用机会）

---

当然，也是需要具体问题具体分析，就比如下面这道题

例题

[ABC395E] Flip Edge

有两种操作！！！

• 移动操作：从当前顶点沿边移动到相邻顶点，成本为 1。具体来说，设当前顶点为 v，选择一条从 v 指向 u 的边，移动到顶点 u。
• 翻转操作：反转所有边的方向，成本为 X。具体来说，在操作前存在的每条从 v 到 u 的边，在操作后将变为从 u 到 v 的边，反之亦然。

问最小总成本

这道题可以只建双层图

一个是正图，一个是反图

可以花\(X\)的花费更换图

就可以了qwq

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long INF = 1e18;
int main()
{
    int N, M;
    long long X;
    cin >> N >> M >> X;
    vector<vector<pair<int, int>>> g(2 * N);
    for (int i = 0; i < N; i++)
        g[i].push_back({i + N, X}), g[i + N].push_back({i, X}); // 双层图
    for (int i = 0; i < M; i++)
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        u--; // 0-index
        v--;
        g[u].push_back({v, 1});
        g[v + N].push_back({u + N, 1});
    }
    vector<long long> d(2 * N, INF);
    // dijkstra
    priority_queue<pair<long long, int>, vector<pair<long long, int>>, greater<>> pq;
    d[0] = 0;
    pq.push({0, 0});
    while (!pq.empty())
    {
        auto [dist, u] = pq.top();
        pq.pop();
        if (dist > d[u])
            continue;
        for (auto [v, w] : g[u])
            if (d[v] > dist + w)
                d[v] = dist + w, pq.push({d[v], v});
    }
    long long ans = min(d[N - 1], d[2 * N - 1]);
    cout << ans << endl;
}

例题列表

其他的例题挂个列表吧

name	from	芝士点
[JLOI2011] 飞行路线	洛谷 P4568	最标准的 \(K\) 次免费机会分层图
[USACO09FEB] Revamping Trails	洛谷 P2939	与飞行路线类似，练手感
冻结 Freezing	洛谷 P4822	消耗机会使边权减半
回家的路	洛谷 P5471	涉及到复杂的节点拆分和多状态跳转

坑

空间复杂度： 分层图最容易 MLE (内存超限)。如果原图有 \(V\) 个点 \(E\) 条边，分层后会变成 \((K+1)V\) 个点和 \((2K+1)E\) 条边。建图时数组一定要开够大。

层间连边的方向： 特殊机会通常是“不可逆”的，所以层间边通常是单向的（从第 \(i\) 层指向第 \(i+1\) 层），否则会产生逻辑错误。

多终点问题：

在消耗 \(K\) 次机会的问题中，答案不一定非得用完 \(K\) 次。

• 错误做法： 只输出 dist[target][K]。
• 正确做法： 答案应该是 \(\min_{i=0}^{K} \{dist[target][i]\}\)。或者，在建图时从 (target, i) 向 (target, i+1) 连一条权值为 0 的单向边，这样直接取 dist[target][K] 即可。

边数预估（重点）：

很多入开了 N * (K+1) 的点数组，却忘了边数组 M 也要相应翻倍。对于 [ABC395E]，总边数是 \(2M + N\)（正向边 + 反向边 + 跨层连接边）。