【学习笔记】最短路 Dijkstra & BF & Floyd & Johnson

目录

• 最短路
  • 「Floyd」
    • 简介
    • 核心思路
    • 特点
    • 实现
    • 代码
  • 「Bellman–Ford」
    • 简介
    • 实现
    • 负环
    • 「SPFA」
    • 「Bellman–Ford」 的超级优化
  • 「Dijkstra」
    • 简介
    • 实现
    • 负权图于Dijkstra
    • Dijkstra算法正确性证明
  • 「Johnson」
    • 简介
    • 思考
    • 证明
      • 1. 边权重标定的定义
      • 2. 路径长度的变化
      • 3. 路径相对长度不变性
      • 4. 非负权重的保证
  • 比较
  • 输出
  • 参考

最短路

「Floyd」

简介

Floyd全名Floyd-Warshall， 又名插点法，是一个基于动态规划的求最短路的算法

罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd，1936－2001）老yeye的算法（无关紧要）

就是在带权图中求最短路的算法

核心思路

特点

需要基于邻接矩阵来做

用来求任意两个结点之间的最短路

复杂度比较高，但是常数小，容易实现（只有三个 for）．

适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在．（不能有个负环）（必须带权的）

实现

注意到又名插点法

我们就对于dis[i][j]我们可以枚举k作为中心转点

也就是dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j])

再来枚举i, j, k就可以了

复杂度明显\(O(n ^ 3)\)

代码

for (k = 1; k <= n; k++) {
  for (x = 1; x <= n; x++) {
    for (y = 1; y <= n; y++) {
      f[k][x][y] = min(f[k - 1][x][y], f[k - 1][x][k] + f[k - 1][k][y]);
    }
  }
}

空间复杂度是 \(O(n ^ 2)\)

可能说我的想法和别人的不一样，我直接从i, j入手，但是这样更易懂，对。

已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通．\

​ 该问题即是求 图的传递闭包．

​ 只是边权变成0/1

​ g[i][j] = g[i][j] | (g[i][k] & g[k][j]);

怎么样

「Bellman–Ford」

简介

Bellman–Ford 算法是一种基于松弛（relax）操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进行判断

「SPFA」就是他的一种常数优化实现

实现

这个算法基于松弛

对于边 \((u, v)\) 松弛操作需要满足三角不等式

对应： \(dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w(u, v))\)

这就是「三角不等式」的魅力

Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛．我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止．

负环

如果有负环，那么他就会一直松弛

（自己想一下）

所以，我们只需要算个cnt就行了

需要注意的是，以 \(S\) 点为源点跑 Bellman–Ford 算法时，如果没有给出存在负环的结果，只能说明从 \(S\) 点出发不能抵达一个负环，而不能说明图上不存在负环．

因此如果需要判断整个图上是否存在负环，最严谨的做法是建立一个超级源点，向图上每个节点连一条权值为 \(0\) 的边，然后以超级源点为起点执行 Bellman–Ford 算法．

「SPFA」

我们观察到在「Bellman–Ford」中有许多没用的「松弛」

浪费了大量的时间！！/_ \

经过观察，我们发现只有上一次「松弛」的「邻居」才能「松弛」

我们只需要用queue维护「邻居」们

就OK了

SPFA 也可以用于判断 \(s\) 点是否能抵达一个负环，只需记录最短路经过了多少条边，当经过了至少 \(n\)条边时，说明 \(s\) 点可以抵达一个负环。

但是在某个NOI上，

SPFA 卒

警告大家：

在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，不然会被卡掉

在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman–Ford 算法无法通过的数据范围，

「Bellman–Ford」 的超级优化

让后就一些牛逼的人类：

from fstqwq

除了队列优化（SPFA）之外，Bellman–Ford 还有其他形式的优化，这些优化在部分图上效果明显，但在某些特殊图上，最坏复杂度可能达到指数级．

• 堆优化：将队列换成堆，与 Dijkstra 的区别是允许一个点多次入队．在有负权边的图可能被卡成指数级复杂度．
• 栈优化：将队列换成栈（即将原来的 BFS 过程变成 DFS），在寻找负环时可能具有更高效率，但最坏时间复杂度仍然为指数级．
• LLL 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队内距离平均值比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首．
• SLF 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首．
• D´Esopo–Pape 算法：将普通队列换成双端队列，如果一个节点之前没有入队，则将其插入队尾，否则插入队首．

「Dijkstra」

简介

Dijkstra算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现，1959 年公开发表．是一种求解 非负权图 上单源最短路径的算法．

实现

• dijkstra本质上的思想是贪心,它只适用于不含负权边的图.
• 我们把点分成两类,一类是已经确定最短路径的点,称为"白点",另一类是未确定最短路径的点,称为"蓝点"
• dijkstra的流程如下:
• 1. 初始化\(dis[start] = 0\),其余节点的\(dis\)值为无穷大.
• 2. 找一个\(dis\)值最小的蓝点\(x\)，把节点\(x\)变成白点.
• 3. 遍历x的所有出边\((x,y,z)\),若\(dis[y]>dis[x]+z\),则令\(dis[y]=dis[x]+z\)
• 4. 重复2,3两步,直到所有点都成为白点.
• 时间复杂度为\(O(n^2)\)

这就是红黑点染色思想

负权图于Dijkstra

之前提到过，Dijkstra 不能用于负权图

为什么不能处理负权图？

我们观察Dijkstra的思想：

1. 维护一个 “已确定最短路径的节点集合”。
2. 每次从这个集合的邻接点中，挑选一个距离起点路径最短的节点加入集合，并认为这个距离就是它的最终最短距离。

关键在于：一旦一个节点被标记为“已确定”（从优先队列中弹出），算法就不会再回头去更新它。因为它基于一个假设：从已确定集合出发，到任何未确定节点的距离，不会比当前已找到的路径更短。

负权边意味着“走得更远”可能反而“代价更小”。这彻底破坏了上述假设。

我们还有一种思考：

• 正因为图只有正边权时贪心才能生效
• 否则就有可能WA

Dijkstra算法正确性证明

（接下来我会对每一个难懂的话做解释）

命题：

图 G 的所有边权非负，源点为 \(s\)。

算法结束时，对所有节点 \(v\)，有 \(dist[v] = d(s, v)\)。

先看这个：

在每一步中，从 \(V \ S\) 中选择 \(dist\) 值最小的节点 \(u\)，必有 \(dist[u] = d(s, u)\)。

1. 假设存在一条从 \(s\) 到 \(u\) 的真正最短路径 \(P\)，使得 \(len(P) = d(s, u) < dist[u]\)。

   有一条路径比这条更短

2. 路径 P 从 s ∈ S 出发，终点是 \(u ∈ V / S\)，因此路径上至少有一个点在离开 \(S\) 的时刻。

   你走的所有路径中肯定有一条不在现在知道的路径中的 （\(S\)）

3. 将 P 分解为：s → ... → x → y → ... → u。

   1. 由于边权非负，所以有：

   2.  d(s, y) ≤ d(s, u) < dist[u]
      

4. 根据算法：

   • 因为 \(x ∈ S\)，算法已处理过边 \((x, y)\)，所以：

     dist[y] ≤ dist[x] + w(x, y) = d(s, x) + w(x, y) = d(s, y)
     

   • 由于 \(y ∈ V / S\) 且 \(u\) 是 \(V / S\) 中 \(dist\) 最小的：

     dist[u] ≤ dist[y]
     

5. 串联不等式：

   text

   dist[u] ≤ dist[y] ≤ d(s, y) ≤ d(s, u) < dist[u]
   

   得出 \(dist[u] < dist[u]\)，矛盾！！！！

因此假设不成立，\(dist[u] = d(s, u)\)。

「Johnson」

简介

Johnson是一个全源最短路的算法

思考

之前提到过，Dijkstra 不能用于负权图 （怎么又有这句话）

因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负．

一种容易想的方法是同时加上 \(x\) ，从而使所有边权非负

肯定是错误的不然为什么大家不用

自己随便构造一组数据就能Hack掉

1. 新建一个虚拟结点 \(v_0\)，从这个结点到其他所有结点的边的权重为\(0\)。

   目的：构造一个能从 \(v_0\)到达所有结点的图，方便跑一次 Bellman-Ford 得到势能函数 $ h(v)$。

2. 使用 Bellman-Ford算法求出 \(0\) 到其他所有结点的最短路径权重，记为 \(h(v)\)。

   数学性质：对于原图任意边 $(u,v) \in E $，由于 \(dis[v] = min(dis[v], dis[u] + w(u, v))\)（三角形不等式），可得
   $h(u) + w(u,v) - h(v) \ge 0 $。
   这就是后面重赋权的依据。

3. 对每条边 \(e=(u,v)∈E\)，重新赋值权重 \(w'=w+ℎ(u)−ℎ(v)\)。

   对原图每条边 ( e = (u, v) )，定义新权重：\(w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)\)

4. 使用新的\(w'\)权重，每个结点运行 Dijkstra 算法，得到最终结果。

   修正：\(\delta(s, t) = \delta'(s, t) - h(s) + h(t)\)

证明

在讨论 Johnson 算法中边权重标定的正确性之前，我们先回顾一个物理概念——势能。

他和下文有大关系：

---

1. 边权重标定的定义

对原图 \(G=(V,E)\) 的每条边 \((u,v) \in E\)，设其原边权为 \(w(u,v)\)。我们引入一组势能值 \(h_i\)（称为点 \(i\) 的势能），然后定义新边权：

\[w'(u,v) = w(u,v) + h_u - h_v. \]

---

2. 路径长度的变化

考虑新图中一条路径：

\[s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t. \]

其长度在新权重下为：

\[\begin{aligned} & [w(s,p_1) + h_s - h_{p_1}] \\ +& [w(p_1,p_2) + h_{p_1} - h_{p_2}] \\ +& \cdots \\ +& [w(p_k,t) + h_{p_k} - h_t]. \end{aligned} \]

化简后得到：

\[w(s,p_1) + w(p_1,p_2) + \dots + w(p_k,t) + h_s - h_t. \]

---

3. 路径相对长度不变性

记原图上该路径的长度为：

\[L_{\text{原}} = w(s,p_1) + w(p_1,p_2) + \dots + w(p_k,t). \]

则新图上该路径的长度为：

\[L_{\text{新}} = L_{\text{原}} + h_s - h_t. \]

由于 \(h_s - h_t\) 是一个只与起点 \(s\) 和终点 \(t\) 有关的常数，原图中任意两条 \(s \to t\) 路径的长度大小关系在新图中完全保持不变。
因此，原图的最短路径必然也是新图的最短路径（反之亦然）。

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4. 非负权重的保证

Johnson 算法的关键一步是：通过一次 Bellman–Ford 算法，求出满足如下三角形不等式的势能函数：

\[h_v \leq h_u + w(u,v), \quad \forall (u,v) \in E. \]

由该不等式可得：

\[w'(u,v) = w(u,v) + h_u - h_v \geq 0. \]

因此新图的所有边权 \(w'\) 均为非负值，可以在其上安全运行 Dijkstra 算法。

比较

最短路算法	Floyd	Bellman–Ford	Dijkstra	Johnson
最短路类型	每对结点之间的最短路	单源最短路	单源最短路	每对结点之间的最短路
作用于	任意图	任意图	非负权图	任意图
能否检测负环？	能	能	不能	能
时间复杂度	\(O(n ^ 3)\)	\(O(NM)\)	\(O(M \log M)\)	\(O(NM \log M)\)

输出

在更新时如q.push()时用一个数组存下来就行啦ヾ(≧▽≦*)o

参考

• dijkstra 详解 - 洛谷专栏
• 最短路 - OI Wiki
• 最短路算法（Dijkstra + SPFA + Floyd） - 知乎
• 所以结点对的最短路径：Johnson算法 - 知乎

完结撒花！！！！！