【学习笔记】最小生成树

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最小生成树

What?

我们定义无向连通图的 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）为边权和最小的生成树．

也就是给定一个图，找到一颗当中的树，使得图联通、权值之和最小

Kruskcal

主体思想是贪心，是从小到大加入边。

流程图
graph TD A[开始] --> B[将所有边按权重升序排序] B --> C[初始化并查集] C --> D[遍历每条边] D --> E{是否形成环？} E -->|否| F[加入MST并合并集合] E -->|是| G[跳过该边] F --> H{边数 = V-1?} H -->|是| I[结束] H -->|否| D G --> D

但是有一个问题，在“是否形成环”

抽象一点地说，维护一堆 集合，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合．

其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护．

综述一下：为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 \(n\) 条边，即形成了一棵树．

其中就有了问题：为什么边权最小的就一定能被MST覆盖？

证明

对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）．

接下来考虑下一条进入的边 \(e\) ：

\(T为MST\) , \(F为当前的生成树\)

如果 \(e \in T\) ，那么新的 \(F' = F\cup \{e\}\) ，显然 \(F' \subseteq T\) 依然满足。

否则 \(e \notin T\) 那么 \(T + e\) 就是一个环，为什么呢？

  • \(T\) 是一棵树，加入 \(e\)（它连接 \(e\) 中两个已经连通的点，因为 Kruskal 算法加边时不形成环，但在 \(T\) 中这两个点已经通过其他路径连通）后，形成环 \(C\)（这个环存在于 \(T+e\) 中）。

  • 什么？还没听懂？

    • 在\(e\)之前，肯定已经选了边集 \(F\) （没有环）。
    • 所以 \(T\) 是一棵树
    • 而 \(e\) 是算法将要加入的边，因为树中任意两点已经有一条唯一路径
    • 所以再加一条边就会形成环

  • 对于上文举个栗子

    • 一个图有四个顶点 \(T= \{(A, B), (B, C), (C, D) \}\)
    • （这是生成树，连通所有顶点且无环）
    • 图示：A -- B -- C -- D
    • 上图是一条链
    • 假设 Kruskal 算法将要加入的边 \(e=(A,D)\)，并且 \(e \notin T\)。
    • 这样就形成了环

  • 为什么一定有环

    • 因为 \(T\) 是生成树，任意两点之间有且仅有一条路径。
      当你在 \(T\) 中加一条新边 \(e\) （连接两点 \(u\) 和 \(v\)）时：

      • 本来 \(u\) 到 \(v\) 在 \(T\) 中就有一条路径 \(P\)。
      • 新边 \(e\) 与 \(P\) 一起构成一个环（\(P + e\)）。

      这就是树的基本性质：树中加任意一条新边必然产生一个环。

完成证明啦ヾ(≧▽≦*)o

例题

最优布线问题

求最小生成树模板

挂个代码：

vector<int> mn(n, INT_MAX);
vector<bool> in(n, false);

mn[0] = 0;
int count = 0;

for (int i = 0; i < n; i++)
{
    int u = -1;
    for (int j = 0; j < n; j++)
        if (!in[j] && (u == -1 || mn[j] < mn[u]))
            u = j;

    in[u] = true;
    count += mn[u];

    for (int v = 0; v < n; v++)
        if (G[u][v] < mn[v] && !in[v])
            mn[v] = G[u][v];
}

cout << count << endl;

其他的好像没有什么好说的了

完结撒花ヾ(≧▽≦*)o

参考：最小生成树 - OI Wiki

posted @ 2026-02-04 21:59  ExAll  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报