【学习笔记】拓扑排序
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\(OI\)-拓扑排序
什么是拓扑排序
拓扑排序（Topological sorting）要解决的问题是如何给一个有向无环图的所有节点排序．
换句话说，就是对于一条边，使得$u$在$v$前。这样的线性序列称为满足拓扑次序的序列。
我们可以举个例子：
比如$CZC$的游戏中有「魔法屏障」和「能量盾」还有「再生护甲」
规则是这样的：必须先得获得「能量盾」再得获得「魔法屏障」最后获得「再生护甲」
「能量盾」
↓
「魔法屏障」
↓
「再生护甲」
小脑萎缩
但有一天$CZC$开发时大脑旋转小脑萎缩，说：”要想获得「魔法屏障」先得获得「再生护甲」“
「能量盾」
↓
「魔法屏障」
↓ ↑
「再生护甲」
显然$Gamer$们现在没办法弄清楚自己需要先打什么了(っ °Д °;)っ
也就没办法进行拓扑排序了．因为如果有向图中存在环路，那么我们就没办法进行拓扑排序
性质们
所以我们可以说🧐：只有在 DAG(有向无环图) 时，才能跑拓扑🤓
同理，我们可以发现下性质：
还有给定一个 DAG，如果从 \(i\) 到 \(j\) 有边，则认为 \(j\) 依赖于 \(i\)．如果 \(i\) 到$j$ 有路径（\(i\) 可达 \(j\)），则称 \(j\) 间接依赖于 \(i\) ．
拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点．
总结一下：
- DAG特性：只有有向无环图才能进行拓扑排序
- 依赖关系：
- 直接依赖：如果从i到j有边，则j直接依赖于i
- 间接依赖：如果i到j有路径，则j间接依赖于i
- 排序目标：使排在前面的节点不依赖于排在后面的节点
现在，我们可以愉快的思考代码实现了
Kahn算法
思考new算法
假设你是Kahn
你要思考一个新算法！！！
Think。。
他说：使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点
我们就直接看没有被指过的：
1 → 2
↓
3 → 4
显然，选 \(1\)
_
|1| → 2
-
↓
3 → 4
接下来我们就可以向外拓展，并删掉这条边。
Q&A
有没有一种可能，他有没指过的(っ °Д °;)っ
没有的，兄弟，没有的。
因为我们是DAG(有向无环图) 呀！！！
如果真有，大家就会直接想到一个图：
1 ← 2
↓ ↑
3 → 4
这不就又环了吗！！
算法流程
Kahn算法的核心思想是不断选择图中入度为0的节点，输出后将其从图中移除。
- 初始化一个队列，将所有入度为0的节点入队
- 当队列不为空时： a. 取出队首节点u并输出 b. 移除u的所有出边，即对于u指向的每个节点v，将v的入度减1 c. 如果v的入度变为0，则将v入队
- 如果输出的节点数等于总节点数，则排序成功；否则说明图中存在环
停下想一下(´･ω･)?
重复上面两步，直到所有顶点都输出，拓扑排序完成，或者图中不存在入度为零的点，此时说明图是有环图，拓扑排序无法完成，陷入死锁．
模板
int n, m;
vector<int> G[MAXN];
int in[MAXN]; // 存储每个结点的入度
bool toposort()
{
vector<int> L;
queue<int> S;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (in[i] == 0) S.push(i);
while (!S.empty())
{
int u = S.front();
S.pop();
L.push_back(u);
for (auto v : G[u])
{
if (--in[v] == 0)
{
S.push(v);
}
}
}
if (L.size() == n)
{
for (auto i : L) cout << i << ' ';
return true;
}
return false;
}
复杂度
遍历图：\(O(E)\)
检查每一条边$O(V)$
总共：\(O(E + V)\)
空间 \(O(1)\)
DFS
实际上就是递归版
（代码来源于OI-Wiki）
using Graph = vector<vector<int>>; // 邻接表
struct TopoSort {
enum class Status : uint8_t { to_visit, visiting, visited };
const Graph& graph;
const int n;
vector<Status> status;
vector<int> order;
vector<int>::reverse_iterator it;
TopoSort(const Graph& graph)
: graph(graph),
n(graph.size()),
status(n, Status::to_visit),
order(n),
it(order.rbegin()) {}
bool sort() {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (status[i] == Status::to_visit && !dfs(i)) return false;
}
return true;
}
bool dfs(const int u) {
status[u] = Status::visiting;
for (const int v : graph[u]) {
if (status[v] == Status::visiting) return false;
if (status[v] == Status::to_visit && !dfs(v)) return false;
}
status[u] = Status::visited;
*it++ = u;
return true;
}
};
复杂度
时间复杂度：\(O(E + V)\)
空间复杂度：\(O(V)\) （递归栈空间）
应用
拓扑排序可以判断图中是否有环，还可以用来判断图是否是一条链。
求字典序最大/最小的拓扑排序
将 Kahn 算法中的队列替换成最大堆/最小堆实现的优先队列即可，此时总的时间复杂度为$O(E + V \log V)$．
神秘例题
家谱树 - 题目详情 - FZOJ
模板
「USACO 2020 Feb Gold」Timeline
也是模板
把图加上权
美妙极了
最后
完结撒花！！！
参考
- 离散数学及其应用．ISBN:9787111555391
- Topological sorting - Wikipedia
- 数据结构第九讲（图：拓扑排序，关键路径，最短路径）- 知乎专栏
- 拓扑排序 - OI Wiki
- 拓扑排序（Topological Sorting）-CSDN博客
- 拓扑排序_百度百科
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