【小白学算法】熄灯问题超详细解析+例题OpenJudge-2811

题面

题目地址：http://bailian.openjudge.cn/practice/2811/
有一个由按钮组成的矩阵，其中每行有6个按钮，共5行。每个按钮的位置上有一盏灯。当按下一个按钮后，该按钮以及周围位置(上边、下边、左边、右边)的灯都会改变一次。即，如果灯原来是点亮的，就会被熄灭；如果灯原来是熄灭的，则会被点亮。在矩阵角上的按钮改变3盏灯的状态；在矩阵边上的按钮改变4盏灯的状态；其他的按钮改变5盏灯的状态。

在上图中，左边矩阵中用X标记的按钮表示被按下，右边的矩阵表示灯状态的改变。对矩阵中的每盏灯设置一个初始状态。请你按按钮，直至每一盏等都熄灭。与一盏灯毗邻的多个按钮被按下时，一个操作会抵消另一次操作的结果。在下图中，第2行第3、5列的按钮都被按下，因此第2行、第4列的灯的状态就不改变。

请你写一个程序，确定需要按下哪些按钮，恰好使得所有的灯都熄灭。根据上面的规则，我们知道1）第2次按下同一个按钮时，将抵消第1次按下时所产生的结果。因此，每个按钮最多只需要按下一次；2）各个按钮被按下的顺序对最终的结果没有影响；3）对第1行中每盏点亮的灯，按下第2行对应的按钮，就可以熄灭第1行的全部灯。如此重复下去，可以熄灭第1、2、3、4行的全部灯。同样，按下第1、2、3、4、5列的按钮，可以熄灭前5列的灯。

解题思路

解决熄灯问题时，由于一个按压一个灯的开关会影响周围的灯的状态，是一个线性系统，可以通过枚举第一行的所有按法，然后根据第一行当前状态，去改变第二行，比如在当前按法下第一行的灯状态为10010，那么第二行的1和4位的灯必须按，因为你要保证第一行的所有灯全都灭，由此类推，直到最后一行按完后，可以保证前面的所有灯都是灭的，此时检查最后一行的状态，如果有灯没有熄灭，那么说明当前的第一行按法不正确，继续遍历下一种按法；

该题的灯矩阵共有5行6列，所以只需遍历 \(2^6 = 64\) 种情况即可

样例输入

0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0

样例输出

1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0

代码样例

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int ori[6][7];
int press[6][7];
int now[6][7];
int dx[5]={0,-1,0,1,0};
int dy[5]={0,0,-1,0,1};
int get(int x,int y){
    int res=now[x][y];//加上当前位置的原始灯开关情况
    for(int i=0;i<5;i++){
        int nx=x+dx[i];
        int ny=y+dy[i];//检查当前灯周围的按压情况
        if(nx>=0&&nx<5&&ny>=0&&ny<6){//遍历周围的灯按压情况，同时防止数组越界
            res+=press[nx][ny];//每一个按压情况相加，判断最后是否熄灭
        }
    }
    return res%2;//因为每两次操作可以抵消，所以结果对2取余即可获得当前灯的状态啦~
}
bool check(){
    for (int i = 1; i <5; i++) {
        for (int j = 0; j < 6; j++) {
            if(get(i-1,j)){//获得上方灯的状态，判断该灯是否需要按压关掉
                press[i][j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<6;i++){//检查最后一行灯是否全部熄灭
        if(get(4,i)) return false;//有未熄灭灯，该组合情况不满足要求，返回false，继续下一个组合
    }
    return true;//未提前返回，说明灯已经全部熄灭，该组合满足要求啦，返回true，即可输出了
}
int main(){
    for(int i=0;i<5;i++){
        for(int j=0;j<6;j++)
        {
            cin>>ori[i][j];//保存原始灯的状态
        }
    }
    for(int s=0;s<(1<<6);s++){//共64种情况，枚举这64种组合数量，s表示当前是第几种
        memset(press,0,sizeof press);//每种情况的操作记录初始为0
        memcpy(now,ori,sizeof ori);//量原始等的状态赋给当前情况now，方便后续改变状态时不覆盖原始状态
        for(int i=0;i<6;i++){
            if((s>>i)&1){
                press[0][i]=1;//将第一行灯按压为当前的情况,从整数s中提取第j位的值
            }                 //查看整数 s 的二进制表示中第j位是不是1（是则按下）
        }//可能有人会有疑问，s不是枚举编号吗？为什么用又用作为第一行的灯按压状态了呢？
      //其实是因为虽然s是枚举编号，但它的二进制每一位正好可以表示第一行每个灯 是否按下的状态，这就是我们从s里提取的原因。
        if(check()){
            for(int i=0;i<5;i++){
                for(int j=0;j<6;j++){
                    cout<<press[i][j]<<" ";
                }
                cout<<endl;
            }//检查全部灯都灭之后即可输出啦~
        }
    }
    return 0;
}