AcWing 906. 区间分组

AcWing 906. 区间分组

一、题目描述

给定 ( N ) 个闭区间 ([a_i, b_i])，将这些区间分成若干组，要求每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。输出最小组数。

输入格式

第一行包含整数 ( N )，表示区间数。
接下来 ( N ) 行，每行包含两个整数 ( a_i, b_i )，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示最小组数。

数据范围

( 1 \leq N \leq 10^5 )，( -10^9 \leq a_i \leq b_i \leq 10^9 )

输入样例

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例

2

二、题目解读

核心要求：组内区间无交集（含端点），组数最少。
可以类比为「活动安排问题」：有若干活动，每个活动有开始和结束时间，同一教室不能安排有交集的活动，求最少需要的教室数量（教室数即组数）。

三、小根堆贪心（按左端点排序）

核心思路

1. 按左端点排序：将所有区间按左端点升序排列，确保按顺序处理区间时，左端点是递增的。
2. 小根堆维护组的右端点：堆中存储每个组的「最右端点」，堆顶是所有组中右端点最小的组（优先尝试将当前区间放入右端点最小的组，尽可能留出空间给后续区间）。
3. 分组逻辑：
   • 若当前区间的左端点 > 堆顶（最小右端点），说明该区间与该组无交集，可放入该组，更新堆顶为当前区间的右端点。
   • 若当前区间的左端点 ≤ 堆顶，说明该区间与所有组都有交集，需新开一组，将当前区间的右端点加入堆。
4. 堆的大小即为最小组数：堆中每个元素对应一个组，最终堆的大小就是所需的最小组数。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Node {
    int l, r;
    // 按左端点升序排序
    const bool operator<(const Node &b) const {
        return l < b.l;
    }
} range[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> range[i].l >> range[i].r;

    sort(range, range + n);

    // 小根堆：存储各组的右端点，堆顶为最小右端点
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        auto t = range[i];
        // 堆为空或当前区间与所有组有交集，新开一组
        if (heap.empty() || heap.top() >= t.l) {
            heap.push(t.r);
        } else {
            // 可放入右端点最小的组，更新该组右端点
            heap.pop();
            heap.push(t.r);
        }
    }

    cout << heap.size() << endl;
    return 0;
}

四、关键疑问：为什么不能按右端点排序？

按右端点排序会导致分组结果错误，举反例说明：
假设有 4 个区间：([1,5])、([2,3])、([4,6])、([7,8])。

• 按右端点排序后：([2,3])、([1,5])、([4,6])、([7,8])。
• 分组过程：
  1. 放入 ([2,3])，堆：{3}。
  2. ([1,5]) 的左端点 1 ≤ 3，新开一组，堆：{3,5}。
  3. ([4,6]) 的左端点 4 ≤ 3？否；4 ≤ 5？是，新开一组，堆：{3,5,6}。
  4. ([7,8]) 的左端点 7 > 3，替换堆顶，堆：{5,6,8}。
• 结果：3 组。
• 正确分组：([2,3]) 和 ([4,6]) 一组，([1,5]) 和 ([7,8]) 一组，仅需 2 组。

原因：按右端点排序会破坏区间左端点的递增性，导致无法合理利用组内空间，进而多开不必要的组。而按左端点排序能保证后续区间的左端点不小于之前的区间，确保贪心策略的有效性。

类似题目： https://www.luogu.com.cn/problem/U422228

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static class Interval{
        private int l;
        private int r;

        public Interval(int l, int r) {
            this.l = l;
            this.r = r;
        }
    }
    public static int minMeetingRooms(Interval[] intervals) {
        if (intervals == null || intervals.length == 0) {
            return 0;
        }

        // 按会议开始时间升序排序
        Arrays.sort(intervals, Comparator.comparingInt(o -> o.l));

        // 最小堆：维护当前各会议室的“最早结束时间”
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();

        // 第一个会议占用一个会议室
        minHeap.offer(intervals[0].r);

        for (int i = 1; i < intervals.length; i++) {
            int start = intervals[i].l;
            int end = intervals[i].r;

            // 如果当前会议开始时，最早结束的会议室已空闲（注意：>= 表示可复用）
            if (start >= minHeap.peek()) {
                minHeap.poll(); // 释放该会议室
            }

            // 当前会议占用一个会议室（无论是复用还是新开）
            minHeap.offer(end);
        }

        // 堆的大小 = 同时进行的最大会议数 = 最少会议室数
        return minHeap.size();
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        Interval[] intervals = new Interval[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            intervals[i] = new Interval(a, b);
        }
        System.out.println(minMeetingRooms(intervals));
    }
}