数位DP

给一个区间[A,B]，求在A,B之间满足条件的数字的个数。解题思路，使用递归每位数字变化，求满足的个数。

模板1.0 不考虑下界

一、不考虑前导 0 的模板

以下是不考虑前导 0 的模板代码：

    static int dfs(int pos, boolean limit, String str, int[] dp) {
        if (pos == str.length()) {
            return 1;
        }
        //没有限制本位填写的数字
        if (dp[pos]!= -1 &&!limit) {
            return dp[pos];
        }
        int res = 0;
        int up = limit? str.charAt(pos) - '0' : 9;
        for (int d = 0; d <= up; d++) {
            res += dfs(pos + 1, limit && d == up, str, dp);
        }
        //没有限制本位填写的数字
        if (!limit) {
            dp[pos] = res;
        }
        return res;
    }

二、考虑前导 0 的模板

考虑前导 0 的模板代码如下：

    static int dfs(int pos, boolean limit, boolean isNum, String str, int[] dp) {
        if (pos == str.length()) {
            return isNum? 1 : 0;
        }
        if (dp[pos]!= -1 &&!limit) {
            return dp[pos];
        }
        int res = 0;
        //如果右前导0，当前位也可以继续填写0，即跳过
        if (!isNum && str.charAt(pos) == '0') {
            res += dfs(pos + 1, false, false, str, dp);
        }
        //往上一行不是return，会继续往下走，所以要判断isNum,前面填写了前导0，本位可以填写数字
        int start = isNum? 0 : 1;
        int up = limit? str.charAt(pos) - '0' : 9;
        for (int d = start; d <= up; d++) {
            res += dfs(pos + 1, limit && d == up,  true, str, dp);
        }
        if (!limit ) {
            dp[pos]= res;
        }
        return res;
    }

模板2.0 考虑下界

一、不考虑前导0

二、考虑前导0

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三、数位概念

数位是指把一个数字按照个、十、百、千等一位一位拆开，关注它每一位上的数字。

例如在十进制数中，每一位数字的取值范围是 0 - 9，其他进制数可类比十进制。比如二进制，每一位数字的取值范围就是 0 - 1。在 leetcode 中目前的题目大多是基于十进制和二进制的。

四、数位 DP（题目应用特征和条件）

1. 计数：数位 DP 常用于计数问题。
2. 输入限制：输入会提供一个数字区间（或者只提供上界）作为计数的限制条件。
3. 转换理解：题目条件经过转换后可以使用「数位」的思想去判断和理解。

五、为什么可以用数位 DP

1. 朴素计数的不足：最朴素的计数方法是从小到大依次加一。
2. 重复计算问题：但对于位数比较多的数，这样的计数过程中有许多重复的部分。例如从 700 数到 799、从 800 数到 899、和从 900 数到 999 的过程非常相似，它们都是后两位从 00 变到 99，不一样的地方只有百位这一位。
3. 避免重复计算的方法：我们可以把重复计算的过程归并保证不重复计算，即将这些过程中产生的计数答案存放在一个数组里。此数组根据题目具体要求设置状态，用递推或 DP 的方式进行状态转移。
4. 统计答案的方式：统计答案建议使用记忆化搜索，为了统计所有不超过上限的答案，要从高到低枚举每一位，再考虑每一位都可以填哪些数字，最后利用通用答案数组统计答案。

六、解题方法

1. 相对固定参数设置
   • 假设 n 是范围的最大值。
   • pos（必选）：表示第 pos 个数位。
   • islimit（必选）：表示当前是否受到了 n 的约束。若为真，则第 i 位填入的数字至多为 s[i]，否则至多为 9。例如 n = 234，如果前面填了 23，那么最后一位至多填 4；如果前面填的不是 23，那么最后一位至多填 9。如果在受到约束的情况下填了 s[i]，那么后续填入的数字仍会受到 n 的约束。
   • isnum（可选）：表示 i 前面的数位是否填了数字。若为假，则当前位可以跳过（不填数字），或者要填入的数字至少为 1；若为真，则要填入的数字可以从 0 开始。例如 n = 123，在 i = 0 时跳过的话，相当于后面要构造的是一个 99 以内的数字了，如果 i = 1 不跳过，那么相当于构造一个 10 到 99 的两位数，如果 i = 1 跳过，相当于构造的是一个 9 以内的数字。
   • mask（可选）：表示前面选过的数字集合，换句话说，第 i 位要选的数字不能在 mask 中。