随笔分类 - 数学方法 -- 容斥原理
摘要：【LOJ 575】【LNR 2】不等关系（容斥，动态规划，分治FFT） 题面 "LOJ" 题解 一个暴力$dp$，设$f[i][j]$表示考虑完了前$i$个位置，其中最后一个数在前面所有数中排名是第$j$大，那么转移的时候枚举一下当前数是第几大，并且满足不等式的限制就可以了，然后拿前缀和优化一下就可
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摘要：【UOJ 390】【UNR 3】百鸽笼（动态规划，容斥） 题面 "UOJ" 题解 发现这就是题解里说的：“火山喷发概率问题”（大雾 考虑如果是暴力的话，你需要记录下当前每一个位置的鸽笼数量，因为概率会随着你空的鸽笼的数量而变化。 我们可以把这个问题转变为给一个长度为$N$的序列填数的问题。 直接算似
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摘要：【BZOJ4487】[JSOI2015]染色问题（容斥） 题面 "BZOJ" 题解 看起来是一个比较显然的题目？ 首先枚举一下至少有多少种颜色没有被用到过，然后考虑用至多$k$种颜色染色的方案数。 那么显然没有颜色的限制，只有行列的限制。 那么我们钦定行必须被染色，这样子每一行的染色方案之和列数和颜
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摘要：【CF285E】Positions in Permutations（动态规划，容斥） 题面 "CF" "洛谷" 题解 首先发现恰好很不好算，所以转成至少，这样子只需要确定完一部分数之后剩下随意补。 然后套一个二项式反演进行容斥就可以得到答案了。 考虑怎么算至少$m$个的贡献， 设$f[i][j][S
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摘要：【51nod1355】斐波那契的最小公倍数（min max容斥） 题面 "51nod" 题解 显然直接算还是没法算的，所以继续考虑$min max$容斥计算。 $$lcm(S)=\prod_{T\subset S}gcd(T)^{( 1)^{|T|+1}}$$ 而斐波那契数列满足$gcd(f(a),
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摘要：【BZOJ4833】最小公倍佩尔数（min max容斥） 题面 "BZOJ" 题解 首先考虑怎么求$f(n)$，考虑递推这个东西 $(1+\sqrt 2)(e(n 1)+f(n 1)\sqrt 2)=e(n)+f(n)\sqrt 2$ 拆开之后可以得到：$e(n)=e(n 1)+2f(n 1),f(
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摘要：【CTS2019】随机立方体（容斥） 题面 "LOJ" "洛谷" 题解 做这道题目的时候不难想到容斥的方面。 那么我们考虑怎么计算至少有$k$个极大值的方案数。 我们首先可以把$k$个极大值的位置给确定出来，方案数是$\displaystyle {n\choose k}{m\choose k}{l\
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摘要：【BZOJ5302】[HAOI2018]奇怪的背包（动态规划，容斥原理） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 ~~为啥泥萌做法和我都不一样啊~~ 一个重量为$V_i$的物品，可以放出所有$gcd(V_i,P)$的重量，而多个物品也只要$gcd$就好了。 现在的问题转变成了有多少个集合$S$，满足$S
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摘要：【LOJ 2542】[PKUWC2018]随机游走（min max容斥，动态规划） 题面 "LOJ" 题解 很明显，要求的东西可以很容易的进行$min max$容斥，那么转为求集合的$min$。 那么怎么求解每个集合的$min$呢。 显然以起点为根节点，如果点集中一个点在另外一个点的子树内，显然不需
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摘要：【Luogu4707】重返现世（min max容斥） 题面 "洛谷" 求全集的$k max$的期望 题解 $min max$容斥的证明不难，只需要把所有元素排序之后考虑组合数的贡献，容斥系数先设出来后也不难解出。 那么我们来考虑如何求解$k max$，设出容斥系数$f(|T|)$ $$kmax(S)
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摘要：【UOJ 422】【集训队作业2018】小Z的礼物（min max容斥，轮廓线dp） 题面 "UOJ" 题解 ~~毒瘤xzy，怎么能搬这种题当做WC模拟题QwQ~~ 一开始开错题了，根本就不会做。 后来发现是每次任意覆盖相邻的两个，那么很明显就可以套$min max$容斥。 要求的就是$max(Al
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摘要：【BZOJ4005】[JLOI2015] 骗我呢（容斥，组合计数） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 "lalaxu" cpp include using namespace std; define MOD 1000000007 define MAX 3000300 void add(int &x
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摘要：【LOJ 6072】苹果树（矩阵树定理，折半搜索，容斥） 题面 "LOJ" 题解 emmmm,这题似乎猫讲过一次。。。 显然先$meet in the middle$搜索一下对于每个有用的苹果数量，满足权值小于$lim$的方案数 ，那么只需要考虑它们构成生成树的方案数就好了。 显然有用的可以和所有的
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摘要：【BZOJ3129】[SDOI2013]方程（容斥，拓展卢卡斯定理） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 因为答案是正整数，所先给每个位置都放一个就行了，然后$A$都要减一。 大于的限制和没有的区别不大，提前给他$A_i$个就好了。 假如没有小于的限制的话，那么就是经典的隔板法直接算答案。 如果提前
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摘要：【ARC102E】Stop. Otherwise...（容斥原理，动态规划） 题面 "AtCoder" 有$n$个骰子，每个骰子有$K$个面，上面有$1$到$K$。骰子都是一样的。 现在对于$[2,2k]$中的每一个数$x$，要求出满足不存在任意两个骰子的点数和为$x$的方案数。 题解 显然这个东西
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摘要：【CF715E】Complete the Permutations（容斥，第一类斯特林数） 题面 "CF" "洛谷" 给定两个排列$p,q$，但是其中有些位置未知，用$0$表示。 现在让你补全两个排列，定义两个排列$p,q$之间的距离为每次选择$p$中两个元素交换，使其变成$q$的最小次数。 求距离
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摘要：【LOJ 6374】网格（二项式反演，容斥） 题面 "LOJ" 要从$(0,0)$走到$(T_x,T_y)$，每次走的都是一个向量$(x,y)$，要求$0\le x\le M_x,0\le y\le M_y$，并且不能不走。同时有$k$个限制，表示不能同时$x=y=k_i$，保证所有$k_i$都是$
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摘要：【arc093f】Dark Horse（容斥原理，动态规划，状态压缩） 题面 "atcoder" 有 $2^n$ 名选手，编号为 $1$ 至 $2^n$ 。现在这 $2^n$ 名选手将进行 $n$ 轮淘汰赛，决出胜者。若 $x include include using namespace std;
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摘要：AtCoder Grand Contest 005 A STring 翻译 给定一个只包含$ST$的字符串，如果出现了连续的$ST$，就把他删去，然后所有位置前移。问最后剩下的串长。 题解 模拟栈，和维护括号一样的。 cpp include include using namespace std;
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摘要：【BZOJ4036】按位或（Min Max容斥，FWT） 题面 "BZOJ" "洛谷" 题解 很明显直接套用$min max$容斥。 设$E(max\{S\})$表示$S$中最晚出现元素出现时间的期望，$min$同理。 那么$E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}( 1)^{
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