CF2150F Cycle Closing

感觉上判是否能一次完成是困难的。设两次的路径长度分别为 \(a, b\)，考虑一些特殊情况。

题目一定有解，考虑取出一棵生成树。可以发现，第二次操作时的边数实际上很多，感觉上对于 \(b\) 不能限制得太小。考虑 \(a\) 较小的情况。

事实上我们想解决的是如下问题：选定一个 \(b\)，对于任意的 \((s,t)\)，要么 \(\operatorname{dist}(s,t)=1\) 或 \(a\)，要么从 \(s\)，每次走 \(1\) 或 \(a\) 的距离，能够恰好 \(b\) 步到达 \(t\)。

对于 \(a=3\)，可以发现每步一定会改变深度奇偶性，因此步数的奇偶性确定了，不太能做。而如果 \(a\ge 4\)，路径形态比较复杂。因此考虑 \(a=2\) 的情形。

首先 \(b\) 有一个下界为 \(\lceil\frac{D+1}{2}\rceil\)，其中 \(D\) 为直径长度。事实上我们也能构造出 \(b=D\) 的方案。

考虑一条链 \(s\to t\)，其长度为 \(d\)。

如果 \(d\ge D\)，那么我们在这条链上不停跳 \(=2\) 的距离，然后一段后缀一步步走即可。

如果 \(d<D\)，此时我们找出距离 \(s\) 最远点 \(x\)，设 \(x\) 在 \(s\to t\) 的最近点为 \(p\)，那么 \(s\to t\) 上的边还是一步步走，然后再在 \(p\to x\) 这条链上通过 \(1\to 3\to\cdots 2k+1\to 2k\to \cdots\to 2\) 状物消耗剩余步数即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int kN = 205;
int n, m;
bool vis[kN];
bool e[kN][kN];
vector<int> tr[kN];
vector<int> path[kN][kN];

void DFS(int x) {
  vis[x] = 1;
  for(int to = 1; to <= n; to++) {
    if(vis[to] || !e[x][to]) continue;
    tr[x].push_back(to);
    tr[to].push_back(x); 
    DFS(to);
  }
}

void DFS2(int x, int fa, vector<int> v, int rt) {
  v.push_back(x);
  path[rt][x] = v;
  for(int to : tr[x]) {
    if(to != fa) DFS2(to, x, v, rt);
  }
}

void Clear() {
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  memset(e, 0, sizeof(e));
  fill_n(tr, n + 3, vector<int> {});
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    fill_n(path[i], n + 3, vector<int> {});
  }
}

void Solve() {
  cin >> n >> m;
  Clear();
  for(int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    e[u][v] = e[v][u] = 1;
  }
  DFS(1);
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    DFS2(i, 0, vector<int> {}, i);
  }
  int x = 0, y = 0, dia = -1;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
      int len = path[i][j].size() - 1;
      if(dia < len) dia = len, x = i, y = j;
    }
  }
  cout << "2\n";
  {
    vector<tuple<int, int, int>> edge;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
      for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
        if(e[i][j]) continue;
        for(int k = 1; k <= n; k++) {
          if(e[k][i] && e[k][j]) {
            edge.emplace_back(i, k, j);
            break;
          }
        }
      }
    }
    cout << "3\n";
    cout << edge.size() << "\n";
    for(auto k : edge) {
      int x, y, z;
      tie(x, y, z) = k;
      cout << x << " " << y << " " << z << "\n";
      e[x][z] = e[z][x] = 1;
    }
  }
  int len = (dia + 1) / 2;
  vector<vector<int>> ans;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
      if(e[i][j]) continue;
      int dis = path[i][j].size() - 1;
      vector<int> p;
      if(dis >= len) {
        for(int k = 0; k <= dis; k += 2) {
          p.push_back(path[i][j][k]);
          if(p.size() + (dis - k) == len + 1) {
            while(k < dis) p.push_back(path[i][j][++k]);
            break;
          }
        }
        ans.push_back(p);
        continue;
      }
      if(path[i][x].size() < path[i][y].size()) swap(x, y);
      int nd = len - dis, t = 0;
      while((t + 1 < path[i][j].size()) && (path[i][j][t + 1] == path[i][x][t + 1])) t++;
      if(path[i][x][1] != path[i][j][1]) {
        p.push_back(i);
        vector<int> v = path[i][x];
        for(int k = 2; k <= nd; k += 2) {
          p.push_back(v[k]);
        }
        for(int k = nd - !(nd & 1); k >= 1; k -= 2) {
          p.push_back(v[k]);
        }
        for(int k = 1; k < path[i][j].size(); k++) {
          p.push_back(path[i][j][k]);
        }
      }else {
        for(int k = 0; k < t; k++) {
          p.push_back(path[i][j][k]);
        }
        vector<int> v;
        for(int k = t; k < path[i][x].size(); k++) {
          v.push_back(path[i][x][k]);
        }
        for(int k = 1; k <= nd; k += 2) {
          p.push_back(v[k]);
        }
        for(int k = nd - (nd & 1); k >= 1; k -= 2) {
          p.push_back(v[k]);
        }
        for(int k = t; k < path[i][j].size(); k++) {
          p.push_back(path[i][j][k]);
        }
      }
      ans.push_back(p);
    }
  }
  cout << len + 1 << "\n";
  cout << ans.size() << "\n";
  for(vector<int> v : ans) {
    for(int i : v) cout << i << " ";
    cout << "\n";
  }
}

int main() {
//  freopen("1.in", "r", stdin);
//  freopen("1.out", "w", stdout);
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  int t;
  cin >> t;
  while(t--) Solve();
  return 0;
}