AT_agc034_f RNG and XOR

一个暴力的想法是 \(f_i\) 表示 \(0\to i\) 的期望步数，但是可以发现这其实不好转移。因为 \(f_j\to f_i\) 时我们不知道是否经过了 \(i\)。

这个问题实际上就是我们固定了起点 \(0\)，终点不固定。但是如果我们固定终点 \(0\)，\(f_i\) 表示 \(i\to 0\) 的期望就是好做的了。

转移就是 \(f_i\leftarrow 1+\sum\limits_{0\le j<2^n}f_{i\oplus j}\times p_j\)，注意 \(f_0=0\)。

一个想法是写成异或卷积的形式，\((f_0,f_1,\cdots,f_{2^n-1})\times(p_0,p_1,\cdots,p_{2^n-1})=(C,f_1-1,f_2-1,\cdots,f_{2^n-1}-1)\)，其中 \(C\) 是一个我们未知的常数。

注意到 \(\sum p=1\)，因此我们其实是可以求出 \(C\) 的。具体地，我们知道右侧的和为 \(\sum f\)，于是 \(C=f_0+2^n-1\)。

但是现在右侧有 \(f\)，我们不好求逆。考虑 \(p_0\leftarrow p_0-1\)，那么就有 \((f_0,f_1,\cdots,f_{2^n-1})\times(p_0-1,p_1,p_2,\cdots,p_{2^n-1})=(2^n-1,-1,-1,\cdots,-1)\)。

我们已知了两个序列，现在就可以直接求逆了……吗？

注意这两个序列的和都 \(=0\)，这意味着两个序列的 \(\operatorname{FWT}\) 后的第 \(0\) 项都 \(=0\)。

但是我们至少知道，右侧的 \(\operatorname{FWT}\) 只有在第 \(0\) 位 \(=0\)，因此我们其实求出了 \(\operatorname{FWT}(f)_{1\sim 2^n-1}\)。

我们不知道 \(\operatorname{FWT}(f)_0\)，但是有 \(f_0=0\)，考虑直接把 \(\operatorname{FWT}(f)_0\) 作为参数进行 \(\operatorname{IFWT}\)，然后再通过 \(f_0=0\) 求出 \(\operatorname{FWT}(f)_0\)。

实际上这个东西写出来也是和题解中的“整体偏移”是等价的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int mod = 998244353;
const int inv2 = (mod + 1) / 2;
void Add(int &x, ll y) { x = (x + y) % mod; }
int Pow(int x, int y) {
  int b = x, r = 1;
  for(; y; b = (ll)b * b % mod, y /= 2) {
    if(y & 1) r = (ll)r * b % mod;
  }
  return r;
}

namespace POLY {
void FWT(vector<int> &a) {
  int n = a.size();
  for(int i = 0; i < __lg(n); i++) {
    for(int j = 0; j < n; j++) {
      if((j >> i) & 1) continue;
      int v0 = a[j], v1 = a[j ^ (1 << i)];
      a[j] = (v0 + v1) % mod;
      a[j ^ (1 << i)] = (v0 + mod - v1) % mod;
    }
  }
}
void IFWT(vector<int> &a) {
  int n = a.size();
  for(int i = 0; i < __lg(n); i++) {
    for(int j = 0; j < n; j++) {
      if((j >> i) & 1) continue;
      int v0 = a[j], v1 = a[j ^ (1 << i)];
      a[j] = (ll)inv2 * (v0 + v1) % mod;
      a[j ^ (1 << i)] = (ll)inv2 * (v0 + mod - v1) % mod;
    }
  }
}
vector<int> Multiply(vector<int> a, vector<int> b) {
  FWT(a), FWT(b);
  for(int i = 0; i < a.size(); i++) a[i] = (ll)a[i] * b[i] % mod;
  IFWT(a);
  return a;
}
}

int main() {
  // freopen("1.in", "r", stdin);
  // freopen("1.out", "w", stdout);
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  int n;
  cin >> n;
  vector<int> p (1 << n);
  for(int &x : p) cin >> x;
  const int inv = Pow(accumulate(p.begin(), p.end(), 0), mod - 2);
  for(int &x : p) x = (ll)x * inv % mod;
  p[0]--;
  POLY::FWT(p);
  vector<int> a (1 << n, mod - 1);
  a[0] = (1 << n) - 1;
  POLY::FWT(a);
  vector<int> fv (1 << n, 0);
  for(int i = 1; i < (1 << n); i++) {
    fv[i] = (ll)a[i] * Pow(p[i], mod - 2) % mod;
  }
  POLY::IFWT(fv);
  for(int i = 0; i < (1 << n); i++) {
    cout << (fv[i] + mod - fv[0]) % mod << "\n";
  }
  return 0;
}