PKUWC2025 D2T1

其实是场上的想到的做法，但是当时被卡 corner case 了 QaQ。

注意到，我们其实可以 \(O(1)\) 次 query 求出 \(x\) 和 \(y\) 的距离。具体地，我们再找三个点，现在有 \(5\) 个点，\(10\) 个距离，而我们又可以 query \(10\) 次，正好可以解出两两距离。这里如果 \(n\le 4\) 特判手玩就好。

然后考虑动态加点，维护直径。如果只维护直径的两个端点 \(x,y\)，求距离其实不是很方便。（好像可以 \(10\) 次加三个点，应该就是 Subtask 10？）

考虑存三个点 \(x,y,z\)，并且记录 \(\operatorname{dis}(x,y)\)，\(\operatorname{dis}(y,z)\) 和 \(\operatorname{dis}(z,x)\)。其中较大的 \(\operatorname{dis}\) 就是直径。我们现在考虑加入 \(i\)。

令 \(x\)，\(y\)，\(z\) 的中间点为 \(p\)，不妨设加入的 \(i\) 是从 \(x-p\) 的链中分叉出来的，分叉点是 \(t\)。

那么我们查询一下 \((x,y,i)\)，\((y,z,i)\)，\((z,x,i)\)，然后我们又已知 \(x\)，\(y\)，\(z\) 两两的距离，其实我们可以解出所有的距离。然后就可以更新直径了。

问题是我们并不知道 \(i\) 是从哪一条链分叉出去，这个也是可以处理的。可以发现，如果是从 \(x-p\) 分叉出去的，那么 \(\dfrac{\operatorname{query}(x,y,i)}{2}-\operatorname{dis}(x,y)=\dfrac{\operatorname{query}(x,z,i)}{2}-\operatorname{dis}(x,z)=e\)，并且 \(\dfrac{\operatorname{query}(y,z,i)}{2}-\operatorname{dis}(y,z)\neq e\)。

于是我们只要根据上面的条件就可以确定 \(i\) 从哪条链分出去。于是就可以 \(3\) 次加入一个点了。总次数 \(10+3(n-5)=3n-5\)。

https://qoj.ac/submission/877333

Upd：

有一个少一些观察的做法。

我们还是动态加点，同时只维护直径的两端点以及距离。

每次加入三个点，那么我们可以用 \(10\) 次 query 求出这五个点两两之间距离。

但是我们已经知道了直径长度，相当于少一个未知数，那么我们也可以少一次 query。于是就可以 \(9\) 次加入 \(3\) 个点。总次数还是 \(3n\) 带一些常数的。