「学习笔记」多项式相关
序
学多项式也有好久了，可是我自己还没怎么认认真真推过柿子，导致啥都不会，然后被吊打。
看来再不回顾一下就不行了啊。
多项式乘法
写了一个好看一点的 NTT 板子，仅供参考。
inline int Add(int x, int y) { return (x + y) % Mod; }
inline int Sub(int x, int y) { return (x - y + Mod) % Mod; }
inline int Mul(int x, int y) { return 1ll * x * y % Mod; }
int fastpow(int x, int y)
{
int ans = 1;
for (; y; y >>= 1, x = 1ll * x * x % Mod)
if (y & 1) ans = 1ll * ans * x % Mod;
return ans;
}
int r[maxn], w[maxn];
void FFT(int *p, int N)
{
for (int i = 0; i < N; i++) if (i < r[i]) std::swap(p[i], p[r[i]]);
for (int i = 1, s = 2, t = N >> 1; i < N; i <<= 1, s <<= 1, t >>= 1)
for (int j = 0; j < N; j += s) for (int k = 0, o = 0; k < i; ++k, o += t)
{
int x = p[j + k], y = 1ll * w[o] * p[i + j + k] % Mod;
p[j + k] = (x + y) % Mod, p[i + j + k] = (x - y + Mod) % Mod;
}
}
template<typename C>
void PolyMul(int *a, int *b, int N, int P, C cal)
{
w[0] = 1, w[1] = fastpow(3, (Mod - 1) / N);
for (int i = 0; i < N; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << P);
for (int i = 2; i < N; i++) w[i] = 1ll * w[i - 1] * w[1] % Mod;
FFT(a, N), FFT(b, N); for (int i = 0; i < N; i++) b[i] = cal(a[i], b[i]);
FFT(b, N); std::reverse(b + 1, b + N); int invn = fastpow(N, Mod - 2);
for (int i = 0; i < N; i++) b[i] = 1ll * b[i] * invn % Mod;
}
泰勒展开
如果 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处存在 \(n\) 阶导，那么有：
其中 \(\xi\) 是余项，当 \(n\) 趋近于无穷大时，\(\xi\) 趋近于高阶无穷小。
比如说 \(e ^ x = 1 + \frac x{1!} + \frac {x^2}{2!} + \cdots\)
牛顿迭代
首先可以知道多项式的任何一个运算都可以表示成对于一个多项式 \(B(x)\) 以及一个给定的函数 \(F(x)\)，求 \(F(B(x)) \equiv 0 \pmod {x ^ n}\)
设 \(B_n(x)\) 表示当模数是 \(x ^ n\) 的合法解。那么当 \(n = 1\) 是我们很容易可以得到结果，考虑如何用 \(B_n(x)\) 推到 \(B_{2n}(x)\)。
对 \(F(B_{2n}(x))\) 在 \(B_n(x)\) 处泰勒展开，我们得到\(F(B_{2n}(x)) = F(B_n(x)) + F'(B_n(x))(B_{2n}(x) - B_n(x))\)。
那么我们化简一下就是：
这样我们就可以倍增求解。
多项式运算
接下来均假设我们要做运算的多项式是 \(A(x)\)。
多项式求逆
并不需要牛顿迭代。
由此可得：\(B_{2n} = B_n(2 - AB_n)\)，这种初等推导可以应用到更加广泛的运算中（如系数是矩阵）。
void Inv(int *a, int *b, int N)
{
static int c[maxn]; if (N == 1) return (void) (*b = fastpow(*a, Mod - 2));
Inv(a, b, (N + 1) >> 1); int L = 1, P = -1; while (L < (N << 1)) L <<= 1, ++P;
std::copy(a, a + N, c), std::fill(c + N, c + L, 0);
PolyMul(c, b, L, P, [] (int a, int b) { return Mul(Sub(2, Mul(a, b)), b); });
std::fill(b + N, b + L, 0);
}
多项式开根
ln 一下再 exp 一下
也不需要牛顿迭代。
也就是说，\(B_{2n} = \frac 12 \left(B_n - \frac A{B_n}\right)\)。可以看出多项式开根中需要套用多项式求逆。
void Sqrt(int *a, int *b, int N)
{
static int c[maxn], d[maxn]; if (N == 1) return (void) (*b = 1);
Sqrt(a, b, (N + 1) >> 1); int L = 1, P = -1; while (L < (N << 1)) L <<= 1, ++P;
std::copy(a, a + N, c), std::fill(c + N, c + L, 0);
std::fill(d, d + L, 0), Inv(b, d, N), PolyMul(c, d, L, P, Mul);
for (int i = 0; i < N; i++) b[i] = Mul(Add(b[i], d[i]), 499122177);
}
多项式 \(\ln\)
同样不需要牛顿迭代。
然后就将 \(A\) 求导求逆，乘起来再积分一下就可以了。
void Ln(int *f, int *g, int N)
{
static int A[maxn], B[maxn]; Inv(f, B, N), A[N - 1] = 0;
for (int i = 1; i < N; i++) A[i - 1] = Mul(f[i], i);
int L = 1, P = -1; while (L < (N << 1)) L <<= 1, ++P;
PolyMul(A, B, L, P, Mul), g[0] = 0;
for (int i = 1; i < N; i++) g[i] = Mul(B[i - 1], fastpow(i, Mod - 2));
std::fill(A, A + L, 0), std::fill(B, B + L, 0);
}
多项式 \(\exp\)
令 \(F(B_n(x)) = \ln(B_n(x)) - A(x) \equiv 0\)
推下式子可得：
void Exp(int *a, int *b, int N)
{
static int c[maxn]; if (N == 1) return (void) (*b = 1);
Exp(a, b, (N + 1) >> 1), Ln(b, c, N);
int L = 1, P = -1; while (L < (N << 1)) L <<= 1, ++P;
for (int i = 0; i < N; i++) c[i] = Sub(a[i], c[i]); c[0] = Add(c[0], 1);
PolyMul(c, b, L, P, Mul), std::fill(b + N, b + L, 0);
}
多项式除法
给定一个 \(n\) 次多项式 \(A(x)\) 和一个 \(m\) 次多项式 \(B(x)\)，求解一个 \(n - m\) 次的多项式 \(Q(x)\) 以及一个小于 \(n - m\) 次的多项式 \(R(x)\)，使得 \(A(x) = Q(x)B(x) + R(x)\)
假设 \(F\) 是一个 \(n\) 次多项式，定义运算 \(R\) 使得 \(F^R(x) = x ^ nF(\frac 1x)\)，也就是说将 \(F\) 的系数翻转。
那么可以得到：
那么这样就可以用多项式求逆求出 \(Q\)，再用 \(R(x) = A(x) - Q(x)B(x)\) 即可求出 \(R\)，于是就完成了多项式除法和多项式取模。
