随笔分类 - 数学方法 --- 组合数学
摘要：题面 题解 容易发现答案就是 \(\displaystyle [x^{nd}] \left(\sum_{i \geq 0} [d|i] \frac {x^i}{i!}\right)^k\)，对其进行单位根反演就是 \(\displaystyle [x^{nd}] \left(\frac 1d \su
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摘要：前置知识 群，置换，循环，轨道，不动点。 设 \(G\) 为有限群，\(X\) 为一个集合，\(x \in X\)，定义 \(x\) 的轨道为 \[ G_x = \{ gx | g \in G \} \] 定义 \(X\) 的轨道数 \(L = |\{ G_x | x \in X \}|\)，\(X
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摘要：定义 \[ B_n = [n = 0] - \frac 1{n + 1} \sum_{i=0}^{n-1} \binom {n + 1} i B_i \] 同时有 \[ \hat{B}(x) = \sum_{i \geq 0} B_i \frac {x^i} {i!} = \frac x{e^x -
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摘要：题面 组合数没了，怎么说嘛 题解 当 \(r = 0\) 或 \(r = 1\) 时是 trivial 的，下面假设 \(r \neq 0, 1\)。 设 \(S_k(n) = \sum_{i=1}^n i^k r^i\)。 那么有 \[ \begin{aligned} S_k(n) &= \sum
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摘要：题面 题解 假设每一列塞满了之后还可以继续塞（只是没有用），事实上和原问题一致。 所以说，对于一个序列，如果第 \(i\) 列有空，说明恰好有 \(a_i\) 个 \(i\) 和 \(\geq a_j\) 个 \(j\ (j \neq i)\) 且以 \(i\) 结尾。 设 \(G_i(x) = \
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摘要：题面 题解 设 \(f_{i, j}\) 为前 \(i\) 个数选了 \(j\) 个的权值和，那么有： \[ f_{i, j} = f_{i - 1, j} + (a_i + j) f_{i - 1, j - 1} \] 设 \(F_i(x) = \sum_j f_{i, j} x^j\)，于是可以
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摘要：题面 题解 上了文化课之后终于知道“超几何分布”的准确定义了，这时候再回来看这题，突然灵光一闪，想到了一个新的解法。 超几何分布：\(n\) 个物品中，\(m\) 个次品，不放回抽取的 \(k\) 个物品中有 \(x\) 个次品的概率 \(P(x = i) = \dfrac {\binom mi \
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摘要：B 不会做，自闭了 /kk 考虑走了一个人之后更新他周围的人的最短路，只要能够更新就一直 bfs 更新。 虽然看上去像是 \(\mathcal O(n^4)\) 的，但是每次更新之后 \(\mathrm {dis}\) 至少减少 $1$，而 \(\sum \mathrm {dis}_{i, j} =
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摘要：题面 题解 Orz \(\mathsf{\color{black}{c}\color{red}{jrzn}}\)。 考虑将每一种方案记在操作数最少的 dp 值上，可以发现 \(k > n\) 是没用的。 设 \(f_{i, j, k}\) 表示当前考虑到第 \(i\) 位，有 \(j\) 个 $1$
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摘要：定义 记一个排列 \(P\) 的升高为 \(k\) 当且仅当存在 \(k\) 个位置 \(i\) 使得 \(P_i<P_{i+1}\)。 那么定义欧拉数 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle\) 表示长度为 \(n\) 且
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摘要：题面 题解 设 \(p_i\) 是概率，也就是题目中的 \(\frac {p_i}{\sum p}\)。 设 \(F(x)\) 表示一直按，第 \(n\) 次到达目标状态的概率 EGF，于是： \[ F(x) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{p_ix} + (-1)^{s_i} e
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摘要：题面 题解 设 \(F(n, m) = \sum_{k=0}^n k^mx^k\binom nk\)，于是答案就是 \(\sum_i a_iF(n, i)\)。 那么有： \[ \begin{aligned} F(n, m) &= \sum_{k=0}^n k^m x^k \binom nk\\ &
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摘要："题面" 题解 设$\{a_n\}$为差分数组，可以得到柿子： $$ \begin{aligned} ans &= \sum_{a_1 = 1} ^ m \sum_{a_2 = 1} ^ m \cdots \sum_{a_{k 1} = 1} ^ m (n \sum_{i = 1} ^ {k 1}
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摘要："题面" 题解 考虑使用总数减去不合法的数量 首先将$n, m$都加上$1$，将网格变成坐标系 总数即为$\large\binom{n\times m}{3}$ 不合法的有三种情况： 三个点在同一行上。每一行有$\binom{m}{3}$种不合法的情况，有$n$行，总数$n\cdot\binom m
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