初学生成函数（二）——生成函数与斐波那契数列

前言

其实这个知识点早就知道了。

但由于我一直都没有把它钻研透彻，而且还总是又忘记掉，因此常常要去网上重新搜索学习一遍。

于是我就想，不如干脆自己写一篇博客，既能巩固现在的记忆，也方便往后的复习。

斐波那契数列的生成函数

考虑斐波那契数列的生成函数直接写出来就长这个样子：

\[F(x)=1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+... \]

根据斐波那契的递推公式\(Fib(x)=Fib(x-1)+Fib(x-2)\)，其实转化成多项式的形式，我们列出\(xF(x)\)和\(x^2F(x)\)：

\[\begin{align} F(x)&=1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+...\\ xF(x)&=1x^2+1x^3+2x^4+3x^5+5x^6+...\\ x^2F(x)&=1x^3+1x^4+2x^5+3x^6+5x^7+... \end{align} \]

斜着看，就会发现，\(F(x)=x+xF(x)+x^2F(x)\)。

通过简单移项，可以得出\(F(x)=\frac x{1-x-x^2}\)。

这就是斐波那契数列的生成函数了。

斐波那契数列的通项公式

其实上面的过程算是简单而基础的，接下来才是此篇博客的核心内容。

考虑我们把\(1-x-x^2\)这一项强行因式分解掉，得到：

\[1-x-x^2=(1-\frac{1+\sqrt5}2x)(1-\frac{1-\sqrt5}2x) \]

方便起见，令\(A=\frac{1+\sqrt 5}2,B=\frac{1-\sqrt5}2\)，也就是说：

\[F(x)=\frac{x}{(1-Ax)(1-Bx)} \]

现在我们要把它裂开，得到\(\frac{ax}{1-Ax}\)和\(\frac{bx}{1-Bx}\)两项。

列出方程：

\[\begin{cases}a+b=1,\\a\times B+b\times A=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=\frac{A}{\sqrt5},\\b=-\frac{B}{\sqrt5}\end{cases} \]

代回原式得到：

\[F(x)=\frac{\frac{A}{\sqrt5}x}{1-Ax}-\frac{\frac{B}{\sqrt5}x}{1-Bx} \]

当分母中变成一个关于\(x\)的一次式的时候，把\(Ax\)和\(Bx\)各自视为一个整体我们就可以反向利用等比数列求和公式，就有：

\[\frac{\frac A{\sqrt5}x}{1-Ax}=\frac A{\sqrt5}x(1+Ax+A^2x^2+...)=\frac{A}{\sqrt5}x+\frac{A^2}{\sqrt5}x^2+\frac{A^3}{\sqrt5}x^3+...\\ \frac{\frac B{\sqrt5}x}{1-Bx}=\frac B{\sqrt5}x(1+Bx+B^2x^2+...)=\frac{B}{\sqrt5}x+\frac{B^2}{\sqrt5}x^2+\frac{B^3}{\sqrt5}x^3+... \]

因此就有：

\[F(x)=\frac{A-B}{\sqrt5}x+\frac{A^2-B^2}{\sqrt5}x+\frac{A^3-B^3}{\sqrt5}x+...=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{A^i-B^i}{\sqrt5}x^i \]

把\(A=\frac{1+\sqrt 5}2,B=\frac{1-\sqrt5}2\)代入，根据第\(i\)项的系数\(\frac{A^i-B^i}{\sqrt5}\)，就得到了我们耳熟能详的斐波那契通项公式：

\[Fib(i)=\frac1{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}2)^i-(\frac{1-\sqrt5}2)^i) \]

后记

斐波那契通项公式的推导应该还可以用到更一般的形如\(\frac x{1-px-qx^2}\)的生成函数上。

这里给一道例题：【洛谷4451】[国家集训队] 整数的lqp拆分。