【洛谷5748】集合划分计数（多项式exp）

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• 求\(Bell_n\)。
• 数据组数\(\le10^3\)，\(n\le10^5\)

多项式\(exp\)

设\(i\)个元素划入一个集合的方案数的\(EGF\)\(为为F(x)\)，显然这些方案数都是\(1\)，于是就有：

\[F(x)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{x^i}{i!} \]

而我们实际上可以把它划入任意多个集合，其中划入\(i\)个集合的\(EGF\)是\(\frac{F(x)^i}{i!}\)。

所以说贝尔数的\(EGF\)就是：

\[B(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{F(x)^i}{i!}=e^{F(x)} \]

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define X 998244353
using namespace std;
int n,m,f[N+5],g[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int Fac[N+5],IFac[N+5];I void InitFac(CI S)
{
	RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=S;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;
	for(IFac[i=S]=QP(Fac[S],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;
}
namespace Poly//多项式模板
{
	#define PR 3
	#define Init(n) P=1,L=0;W(P<=((n)<<1)) P<<=1,++L;for(i=0;i^P;++i) R[i]=R[i>>1]>>1|((i&1)<<L-1),A[i]=B[i]=0; 
	int P,L,R[N<<2],A[N<<2],B[N<<2],t1[N+5],t2[N+5],t3[N+5];
	I void NTT(int* s,CI op)
	{
		RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(swap(s[i],s[R[i]]),0);
		for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(QP(PR,op),(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1,
			k=0;k^i;++k,S=1LL*S*U%X) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X;
		if(op==X-2) {RI t=QP(P,X-2);for(i=0;i^P;++i) s[i]=1LL*s[i]*t%X;}
	}
	I void Inv(CI n,int* a,int* b)
	{
		if(!n) return (void)(b[0]=QP(a[0],X-2));RI i;Inv(n>>1,a,b);
		Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];NTT(A,1),NTT(B,1);
		for(i=0;i^P;++i) A[i]=(2LL*B[i]-1LL*A[i]*B[i]%X*B[i]%X+X)%X;for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=A[i];
	}
	I void Ln(CI n,int* a,int* b)
	{
		RI i,j;for(i=0;i<=n;++i) b[i]=0;for(Inv(n,a,b),i=0;i^n;++i) t1[i]=1LL*a[i+1]*(i+1)%X;t1[n]=0;
		Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=b[i],B[i]=t1[i];NTT(A,1),NTT(B,1);
		for(i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;for(NTT(A,X-2),b[0]=0,i=1;i<=n;++i) b[i]=1LL*A[i-1]*QP(i,X-2)%X;
	}
	I void Exp(CI n,int* a,int* b)
	{
		if(!n) return (void)(b[0]=1);RI i;Exp(n>>1,a,b);Ln(n,b,t2);
		Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=b[i],B[i]=(!i-t2[i]+a[i]+X)%X;NTT(A,1),NTT(B,1);
		for(i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;for(NTT(A,X-2),i=0;i<=n;++i) b[i]=A[i];
	}
}
int main()
{
	RI i;for(InitFac(N),i=1;i<=N;++i) f[i]=IFac[i];Poly::Exp(N,f,g);//构造F(x)，多项式exp求出贝尔数的EGF
	RI Tt,n;scanf("%d",&Tt);W(Tt--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",1LL*g[n]*Fac[n]%X);return 0;
}