【洛谷4749】[CERC2017] Kitchen Knobs（差分+背包）

点此看题面

• 有\(n\)个旋钮，每个旋钮上有\(7\)个数码，一个旋钮的读数方式是从顶端开始顺时针读一圈。
• 一次操作可以将一段区间内所有旋钮一起向同一方向转动任意位数。
• 求最少的操作次数，使得所有旋钮的读数都成为可能的最大值。
• \(n\le501\)

巧妙的差分

如果一个旋钮上的数全部相同，那么无论怎么转都取到最大值，可以直接删去。

否则，由于\(7\)是一个质数，不存在循环节，因此可能的最大值只会在唯一的位置取到，不妨设为\(a_i\)。

那么现在我们就是要对\(a\)序列进行若干次区间加法（在模\(7\)意义下）使得所有位置变成\(0\)。

考虑差分，那么区间加法就可以看作给一个位置加上\(x\)，另一个位置减去\(x\)。

因此我们先对\(a\)序列进行一次反差分（从后往前令每个\(a_{i+1}\)减去\(a_i\)），然后问题就变成每次操作可以给任意两个位置分别加/减同一个数，求最少的操作次数。

背包

如果能选出\(x\)个位置在模\(7\)意义下和为\(0\)，我们就可以通过\(x-1\)次操作让这\(x\)个位置全部变成\(0\)。

又由于原序列的总和肯定为\(0\)（注意到差分序列包括第\(n+1\)位），因此我们的问题就在于把这\(n+1\)个位置划分成尽量多的集合，使得每个集合的总和为\(0\)。

首先，贪心地把每两个和为\(0\)的数合并掉，这显然不会使答案变劣。而这样一来一大好处就是剩余的数最多只有\(3\)种。

所以就可以设\(f_{i,j,k}\)表示这三种数的个数分别剩余\(i,j,k\)时仍需的最小代价，每次取一个总和为\(0\)的集合转移（相当于是一个三维背包）。

我们肯定有很多取法使得一个集合\(\{a,b,c\}\)总和为\(0\)，但也肯定有很多集合是不优的，因此需要剪枝：

• \(a,b,c<7\)（除非一个恰好等于\(7\)，另外两个都为\(0\)），因为\(7\)个相同的数完全可以自成一个集合，分开来肯定更优。
• \(gcd(a,b,c)=1\)，因为如果\(gcd(a,b,c)=d>1\)，这个集合可以拆分成\(d\)个，也肯定更优。

这样一搞之后合法的集合个数实际上已经很少了，然后我们求解\(f\)的时候只要使用记忆化搜索，绝对跑不满了。

代码：\(O(n^3)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 501
using namespace std;
int n,a[N+5],w[7];char s[10];I int gcd(CI x,CI y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
int ct,p[50][3],g[50],v[3];short f[N+5][N+5][N+5];I int DFS(CI x,CI y,CI z)//记忆化搜索
{
	if(!x&&!y&&!z) return 0;if(f[x][y][z]) return f[x][y][z];RI t=n;//x=y=z=0；记忆化
	for(RI i=1;i<=ct;++i) x>=p[i][0]&&y>=p[i][1]&&z>=p[i][2]&&(t=min(t,DFS(x-p[i][0],y-p[i][1],z-p[i][2])+g[i]));//枚举取法
	return f[x][y][z]=t;
}
int main()
{
	RI i,j,k;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i)
	{
		for(scanf("%s",s),j=1;j^7&&s[j]==s[j-1];++j);if(j==7) {--i,--n;continue;}//全部相同直接扔掉
		for(j=1;j^7;s[(a[i]+k)%7]<s[(j+k)%7]&&(a[i]=j),++j) for(k=0;s[(a[i]+k)%7]==s[(j+k)%7];++k);//求出最大表示开始位置
	}
	for(i=n;i;--i) ++w[a[i+1]=(a[i+1]-a[i]+7)%7];++w[a[1]];//反差分
	RI t=0,o;for(w[0]=0,i=1;i<=3;++i) o=min(w[i],w[7-i]),t+=o,w[i]-=o,w[7-i]-=o;//两个和为0的数直接对掉
	RI c=0;for(i=1;i^7;++i) w[i]&&(v[c++]=i);//记下剩余的所有数
	for(i=0;i^7&&(!i||v[0]);++i) for(j=0;j^7&&(!j||v[1]);++j) for(k=0;k^7&&(!k||v[2]);++k) (i||j||k)&&//枚举集合取法，i,j,k<7
		!((i*v[0]+j*v[1]+k*v[2])%7)&&gcd(i,gcd(j,k))==1&&(p[++ct][0]=i,p[ct][1]=j,p[ct][2]=k,g[ct]=i+j+k-1);//和为0且gcd=1
	for(i=0;i^3;++i) p[++ct][i]=7,g[ct]=6;return printf("%d\n",t+DFS(w[v[0]],w[v[1]],w[v[2]])),0;//一个恰好为7，另两个为0；两个数对掉的答案+记搜答案
}