【LOJ6513】「雅礼集训 2018 Day10」足球大战（数学题）

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大致题意： 已知主队每秒进球概率为\(p\)，客队每秒进球概率为\(q\)，求主队进球数大于客队的概率。

推式子

考虑枚举主队进球数\(i\)，则客队进球数必然小于\(i\)，因此可再枚举一个\(j\)表示客队进球数。

显然，主队进球数为\(i\)的概率应为\(p^i(1-p)^{n-i}\)，同理客队进球数为\(j\)的概率应为\(q^j(1-q)^{n-j}\)。

而哪\(i\)场或哪\(j\)场进球是任意的，所以两式应各乘上一个组合数\(C_n^i\)和\(C_n^j\)。

所以就可以得到这样一个式子：

\[\sum_{i=1}^np^i(1-p)^{n-i}C_n^i\sum_{j=0}^{i-1}q^j(1-q)^{n-j}C_n^j \]

\(O(n)\)求值

注意到\(n\le10^7\)，所以我们需要一边枚举\(i\)，一边同时统计这个式子的值，这其实是可以实现的。

我们用\(p_1\)存储\(p^i\)，\(p_2\)存储\((1-p)^{n-i}\)，\(q_1\)存储\(q^j\)，\(q_2\)存储\((1-q)^{n-j}\)，\(sq\)存储\(\sum_{j=0}^{i-1}q^j(1-q)^{n-j}C_n^j\)，\(ans\)存储答案。

初始化\(p_1=1,p_2=(1-p)^n,q_1=\frac1q,q_2=(1-q)^{n+1},sq=ans=0\)。

然后定义两个常量\(tp\)和\(tq\)分别存储\(\frac1{1-p}\)和\(\frac1{1-q}\)。

每次操作时，将\(p_1\)乘上\(p\)，\(p_2\)乘上\(tp\)，\(q_1\)乘上\(q\)，\(q_2\)乘上\(tq\)，\(sq\)加上\(q_1q_2C_n^{i-1}\)，\(ans\)加上\(p_1*p_2*C_n^i*sq\)即可。

关于内存

这道题内存其实是卡得很紧的，而\(n\le10^7\)，差不多只能开一个数组。

但光组合数就需要阶乘和阶乘逆元两个数组啊！

不过，注意到此题中的组合数都是\(C(n,x)\)的格式，因此所需用到的阶乘只有\(n!\)，这可以直接预处理。然后就只需要一个阶乘逆元的数组即可。

某些特判

上面的式子，在某些特殊情况下其实是过不去的。

1. \(p=0\)时，需直接输出\(0\)。
2. \(q=0\)时，需输出\(1-(1-p)^n\)，即除非主队一球不进，否则必胜。
3. \(p=1\)时，需输出\(1-q^n\)，即除非客队全进，否则必胜。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 10000000
#define X 1000000007
#define Qinv(x) Qpow(x,X-2)
#define C(x) (1LL*Fn*Inv[x]%X*Inv[n-(x)]%X)
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,p,q,Fn,Inv[N+5];
I int Qpow(RI x,RI y) {RI res=1;W(y) y&1&&(res=1LL*res*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return res;}
I int XSub(RI x,CI y) {return (x-=y)<0&&(x+=X),x;}
int main()
{
	RI i,x,y,ans=0;scanf("%d%d%d",&n,&x,&y),p=1LL*x*Qinv(y)%X,scanf("%d%d",&x,&y),q=1LL*x*Qinv(y)%X;//读入数据
	if(!p) return putchar('0'),0;if(!q) return printf("%d",XSub(1,Qpow(XSub(1,p),n))),0;//特判p=0或q=0的情况
	if(!(p^1)) return printf("%d",XSub(1,Qpow(q,n))),0;//特判p=1的情况
	for(Fn=i=1;i<=n;++i) Fn=1LL*Fn*i%X;for(Inv[n]=Qinv(Fn),i=n-1;~i;--i) Inv[i]=1LL*Inv[i+1]*(i+1)%X;//预处理n!和阶乘逆元
	RI tp=Qinv(XSub(1,p)),tq=Qinv(XSub(1,q)),p1=1,p2=Qpow(XSub(1,p),n),q1=Qinv(q),q2=Qpow(XSub(1,q),n+1),sq=0;//初始化变量
	for(i=1;i<=n;++i)//O(n)求值
	{
		p1=1LL*p1*p%X,p2=1LL*p2*tp%X,q1=1LL*q1*q%X,q2=1LL*q2*tq%X,Inc(sq,1LL*q1*q2%X*C(i-1)%X),//更新数据
		Inc(ans,1LL*p1*p2%X*C(i)%X*sq%X);//更新答案
	}return printf("%d",ans),0;//输出答案
}