【BZOJ4004】[JLOI2015] 装备购买（向量线性基）

点此看题面

大致题意： 给定\(n\)个\(m\)维向量，每个向量有一个代价。规定若一个向量能用所持向量以任意系数相加得到，则这个向量就不必选择。求选择的最大向量数目以及此时所花的最小代价。

线性基

如果你对线性基的认知仅仅停留在异或的层面，那么这道题就无比棘手了。

事实上，异或的线性基可以看作特殊的线性基，把一个数分成一个向量，向量的每维只有\(0/1\)两种数。（类比\(01\)矩阵，可以叫做\(01\)线性基？）

那么一般的线性基该如何维护呢？这个过程实际上类似于高斯消元，大概可以看作异或线性基和高斯消元的结合，实现可以详见代码。

贪心

因此，对于这道题，我们贪心地对向量按代价排序，每次判断能否插入线性基，能插就插。

至于贪心的依据，我相信是比较显然的，这里就不予证明了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500
#define eps 1e-8
#define DB long double
using namespace std;
int n,m;
struct Vec//存储一个向量
{
	int v;DB a[N+5];I DB& operator [] (CI x) {return a[x];}
	I bool operator < (Con Vec& o) Con {return v<o.v;}//按代价排序
}s[N+5];
class LinearBasis//线性基
{
	private:
		int p[N+5];Vec v[N+5];
	public:
		I bool Ins(Vec x)//插入向量
		{
			RI i,j;DB t;for(i=1;i<=m;++i) if(fabs(x[i])>eps)//如果这一位不为0
			{
				if(!p[i]) {for(p[i]=1,j=i;j<=m;++j) v[i][j]=x[j];return 1;}//如果这一位还没有向量，插入成功
				for(t=-x[i]/v[i][i],j=i;j<=m;++j) x[j]+=t*v[i][j];//类似于高斯消元，将这一位消去
			}return 0;//插入失败
		}
}B;
int main()
{
	RI i,j;for(scanf("%d%d",&n,&m),i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) scanf("%Lf",&s[i][j]);
	for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&s[i].v);sort(s+1,s+n+1);
	RI t1=0,t2=0;for(i=1;i<=n;++i) B.Ins(s[i])&&(++t1,t2+=s[i].v);//贪心
	return printf("%d %d\n",t1,t2),0;
}