【BZOJ1009】[HNOI2008] GT考试（KMP+矩阵乘法）

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大致题意： 求有多少个\(n\)位数（可以有前导\(0\)），满足其中不存在一个给定的\(m\)位数字（可以有前导\(0\)）。

矩阵乘法

看到数据范围里\(n\le10^9,m\le20\)，第一反应便是矩阵乘法......

我们设\(f_{x,y}\)表示\(n\)位数的第\(x\)位匹配至\(m\)位数的第\(y\)位且\(n\)位数中不存在\(m\)位数的方案数。

然后，我们通过\(KMP\)，求出\(m\)位数的\(nxt\)数组。

考虑求出当匹配至\(m\)位数的第\(i(0\le i<m)\)位时，加上一个数后匹配至另外某一位的方案数。

于是，我们初始化\(j=i\)，然后每次操作结束后令\(j=nxt[j]\)。

第\(i\)位能转移至第\(j+1\)位，当且仅当\(m\)位数中的第\(j+1\)位不同于之前出现过的任意一位，否则在加上这个数后就不会转移到第\(j+1\)位而是转移到第一次出现这个数的位置。

所以，我们可以用一个变量\(fg\)来状压存储下每个数字是否出现过，并记录下数字的个数\(p\)。

则，第\(i\)位转移至第\(0\)位（即完全不能匹配）的方案数为\(10-p\)。

于是我们就能借此求出转移矩阵了。

初始化\(f_{0,0}=1\)，通过矩阵乘法我们得到\(f_n\)，而答案就是\(\sum_{i=0}^{m-1}f_{n,i}\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define M 20
using namespace std;
int n,m,X;char s[M+5];
namespace KMP
{
	int nxt[M+5];
	I void GetNxt()//求出nxt数组
	{
		RI i,j;for(i=2,nxt[1]=j=0;i<=m;++i)
			{W(j&&s[j+1]^s[i]) j=nxt[j];s[j+1]==s[i]&&++j,nxt[i]=j;}
	}
}
class Mat
{
	private:
		int n,m,a[M+5][M+5];
	public:
		I Mat(CI x=0,CI y=0):n(x),m(y){memset(a,0,sizeof(a));}
		I int* operator [] (CI x) {return a[x];}
		I Mat operator * (Con Mat& o) Con//矩阵乘法
		{
			Mat t(n,o.m);int i,j,k;for(i=0;i<=t.n;++i) for(j=0;j<=t.m;++j)
				for(k=0;k<=m;++k) t[i][j]=(1LL*a[i][k]*o.a[k][j]+t[i][j])%X;return t;
		}
		I Mat operator ^ (RI y) Con//矩阵快速幂
		{
			Mat x=*this,t(n,m);for(RI i=0;i<=n;++i) t[i][i]=1;
			W(y) y&1&&(t=t*x,0),x=x*x,y>>=1;return t;
		}
}S,U;
int main()
{
	RI i,j;scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&X,s+1),KMP::GetNxt();
	RI v,p,fg;for(U=Mat(m,m),i=0;i^m;++i)//求出转移矩阵
	{
		p=fg=0,j=i;W(v=s[j+1]&15,!((fg>>v)&1)&&(++p,fg|=1<<v,U[i][j+1]=1),j) j=KMP::nxt[j];//不断枚举nxt，每种数字只能转移一次
		U[i][0]=(10-p)%X;//求出转移到第0位的方案数
	}
	RI t=0;for(S=Mat(0,m),S[0][0]=1,S=S*(U^n),i=0;i^m;++i) (t+=S[0][i])>=X&&(t-=X);//矩乘之后统计答案
	return printf("%d",t),0;
}