Kronecker积与二次多项式基向量

Kronecker积(Kronecker Product)

Kronecker积是两个矩阵的张量积，记作\(A \otimes B\)。具体来说，如果\(A\)是\(m \times n\)矩阵，\(B\)是\(p \times q\)矩阵，则\(A \otimes B\)是一个\(mp \times nq\)的矩阵，其元素由以下公式给出：

\[(A \otimes B)_{i,j} = A_{i',j'} B_{i'',j''} \]

其中\(i = (i'-1)p + i''\)且\(j = (j'-1)q + j''\)，\(1 \leq i' \leq m, 1 \leq j' \leq n, 1 \leq i'' \leq p, 1 \leq j'' \leq q\)。

为了更好地理解，我们来看一个例子：

设\(A\)和\(B\)分别为：

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \]

\[B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \]

则\(A \otimes B\)为：

\[A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} & a_{12} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \\ a_{21} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} & a_{22} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]

二次多项式基向量(quadratic polynomial basis vector)

一个二次多项式可以表示为：

\[f(x) = ax^2 + bx + c \]

对于向量\(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T\)，二次多项式基向量可以扩展为：

\[\begin{pmatrix} x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n & x_2^2 & x_2x_3 & \cdots & x_n^2 & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 1 \end{pmatrix}^T \]

这个向量包含所有可能的二次项和一次项，以及一个常数项。