Minimal Steiner Tree ACM
上图论课的时候无意之间看到了这个，然后花了几天的时间学习了下，接下来做一个总结。
一般斯坦纳树问题是指（来自百度百科）：
斯坦纳树问题是组合优化问题，与最小生成树相似，是最短网络的一种。最小生成树是在给定的点集和边中寻求最短网络使所有点连通。而最小斯坦纳树允许在给定点外增加额外的点，使生成的最短网络开销最小。
然后听说已经被证明为是NP问题了，在ACM竞赛中我们不研究这个，我们研究更简单一些的问题。
对于图G(V,E),其中V表示图中点集，E表示图中边集。设A是V的某个子集，求至少包含A中所有点的最小子树。
这个问题也是NP难问题。所以|A|必须很小才行。于是对于|A|很小的时候，有两种做法。
做法一： 根据性质暴力。
有一段很经典的做法（from here）：
首先用floyd算法求出两两之间的最短路径。
然后把所有点都两两链接起来，权值就是它们的最短路径。
假设指定必须连接的点有K个。
那么MinimalSteinerTree 树中的内点最多有K-2个。
在纸上画一下就知道了，内点最多的情况就是树为满二叉树的情况。
而由于之前的floyd算法。把整个图给“缩”了一下。
所以树最多有K-2+K个点。
枚举所有可能的点集。对每个点集求最小生成树。取最小值即可。
如果这种方法是正确的，那么我们只需要在所有N（N=|A|）个点中选择K-2个点，然后进行最小生成树算法即可。复杂度为C(N,K-2)*K^2，对于N和K很小的时候还是可以的。
接下来就来证明，为什么做法一是正确的。
前提1：因为图中已经使用Floyd算法，所以图中不存在度为2的点
前提2：根节点全部为A集合中的点
推论1：内点的度数大于3
然后根据数据结构中一点树的基础知识我们可以得到公式：
设内点有X个
2*(K+X-1) >= K+3*X
=》X <= K - 2
然后有同学可能会问，A集合中的点也可能不为根节点啊。稍微想下我们可以知道，如果存在Y个A集合中的点不为根节点，则对于公式左边没有影响，且必然会增大公式右边，所以使得X更小。
当时，这种思路虽然我觉得很好，但是这种方法在ACM中却都会超时。。。现在的出题人那里还会出纯的模板题。确实这方法局限性太大，学习学习思路就好了。
方法二:状态压缩DP
（学习了这个，了解到DP果真不是很适合我这种脑子不好用的玩家）
dp[mask][i]，其中是以i为根，包含mask中的点的最小生成树的权值。（其实主要可以看成，这个树含有mask集合，且必有i这个点，mask集合是|A|的某个子集）
mask是点的集合，可以用二进制进行状态压缩。
在得知dp[mask-1 ~ 1][1...N]的情况下，如何推出dp[mask][1...N]呢？
两个步骤实现：
step1推出：
a = min{dp[m1][i] + dp[m2][i]}，其中m1 | m2 = mask。 其中m1和m2就是mask的两个互补子集
step2推出
b = min(dp[mask][j] + d[j][i])
模板可以看我的这边博客。http://www.cnblogs.com/chenhuan001/p/4960239.html
接下来我简单来证明下这样做为什么是对的。
要得到dp[tmask][i] 也就是状态为tmask，且一定含有i这个点。 有两种情况
第一种，对于最优状态，i这个点为内点，那么一定可以找到tmask的两种互斥子集m1和m2,使得dp[tmask][i]=dp[m1][i]+dp[m2][i]
第二种，对于最优状态，i这个点为叶子节点，那么第一种方法已经无法找出，所有找到一个没有i节点的状态，添加一条指向i的边来进行转移。
这两种情况都考虑后，就能说明转移是正确的。
poj 3123
// // main.cpp // poj3123 // // Created by 陈加寿 on 15/11/10. // Copyright (c) 2015年 陈加寿. All rights reserved. // #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <string> #include <map> using namespace std; #define N 33 #define INF 1000000000 map<string,int> Maphash; int Maphashid; int mat[N][N]; int needconnect[5][2]; int cntcnt=0; int mi; void Init() { Maphash.clear(); Maphashid=0; for(int i=1;i<N;i++) for(int j=1;j<N;j++) if(i==j) mat[i][j]=0; else mat[i][j]=INF; } //来一发spfa int dp[1010][N]; int que[1001000]; int qf,qd; int spfamark[N]; int SteinerTreeDP(int mat[N][N],int maxid,int *sameset,int size,int* mark) { //所有的标点从1到maxid //SteinerTree 所必须的点集为 sameset[0] - sameset[size-1] memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<(1<<size);i++) for(int j=1;j<=maxid;j++) dp[i][j]=INF; //初始化都为INF for (int i=0; i<size; i++) { dp[(1<<i)][sameset[i]]=0; } for (int i=1;i<(1<<size);i++) { int to[10]; int tcnt=0; for(int j=0;j<size;j++) { if( (i&(1<<j)) != 0 ) { to[tcnt]=j; tcnt++; } } for(int j = 1;j < (1<<tcnt)-1 ;j++)//对于内部的每一种情况. { int tmp=0; for(int j1=0;j1<tcnt;j1++) { if( ((1<<j1)&j) != 0) { tmp |= (1<<to[j1]); } } int othertmp= (~tmp)&i; if( (tmp|othertmp) != i) printf("error! tmp|other != i\n"),needconnect[100][100]; for(int k=1;k<=maxid;k++) dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[tmp][k]+dp[othertmp][k]);//是含有，并不是只含有！ } //然后开始SPFA //一开始把所有不为INF的点入队列 qf=qd=0; memset(spfamark, 0, sizeof(spfamark)); for(int j=1;j<=maxid;j++) { if(dp[i][j]!=INF) { que[qf++]=j; spfamark[j]=1; } } while(qf>qd) { int cur=que[qd++]; spfamark[cur]=0; for(int j=1;j<=maxid;j++) { if( mat[cur][j]!=INF && j!=cur && dp[i][j] > dp[i][cur]+mat[cur][j] ) { dp[i][j] = dp[i][cur] + mat[cur][j]; if(spfamark[j]==0) { spfamark[j]=1; que[qf++]=j; } } } } } int tmin=INF; for(int i=1;i<=maxid;i++) tmin=min(tmin,dp[(1<<size)-1][i]); return tmin; } int getmin(int *sameset,int size) { if(size>8) return 0; if(size<2) return 0; //两个的时候不要抗拒 // if(size==2) // { // return mat[ sameset[0] ][ sameset[1] ]; // } int save[N]; int cnt=0; for(int i=1;i<=Maphashid;i++) { int sign=0; for(int j=0;j<size;j++) { if(sameset[j]==i) { sign=1; break; } } if(sign==0) save[cnt++]=i; } //然后dfs找size-2种可能。 int mark[N]; memset(mark,0,sizeof(mark)); for(int i=0;i<size;i++) mark[ sameset[i] ]=1; mi=INF; return SteinerTreeDP(mat,Maphashid,sameset,size,mark); } int main(int argc, const char * argv[]) { // insert code here... int n,m; while (scanf("%d%d",&n,&m)&&(n+m)) { Init(); for(int i=0;i<n;i++) { string tmp; cin>>tmp; if(Maphash[tmp]==0) Maphash[tmp] = ++Maphashid; } for(int i=0;i<m;i++) { string a,b; int hasha,hashb,len; cin>>a>>b>>len; hasha=Maphash[a]; hashb=Maphash[b]; mat[hasha][hashb]=mat[hashb][hasha]=min(mat[hasha][hashb],len); } for(int i=0;i<4;i++) { //四个 string a,b; cin>>a>>b; needconnect[i][0]=Maphash[a]; needconnect[i][1]=Maphash[b]; } //floyd 还没有用 for(int i=1;i<=Maphashid;i++) for(int j=1;j<=Maphashid;j++) for(int k=1;k<=Maphashid;k++) if(mat[i][j] > mat[i][k]+mat[k][j]) { mat[i][j] = mat[i][k]+mat[k][j]; } int sameset[10]; int setnum; int ans=INF; for(int i=0;i<=0;i++) for(int i1=0;i1<=i+1;i1++) for(int i2=0;i2<=i1+1;i2++) for(int i3=0;i3<=i2+1;i3++) { //if(i1==0&&i2==0&&i3==0&&i==0) continue;//这个减掉了竟然还超时 我就抄！ int sum=0; for(int j=0;j<4;j++) { //取出同一集合 setnum=0; if(i==j) { sameset[setnum++]=needconnect[0][0]; sameset[setnum++]=needconnect[0][1]; } if(i1==j) { sameset[setnum++]=needconnect[1][0]; sameset[setnum++]=needconnect[1][1]; } if(i2==j) { sameset[setnum++]=needconnect[2][0]; sameset[setnum++]=needconnect[2][1]; } if(i3==j) { sameset[setnum++]=needconnect[3][0]; sameset[setnum++]=needconnect[3][1]; } if(setnum==0||setnum==1) continue; //去重复 sort(sameset,sameset+setnum); int tsetnum=1; for(int k=1;k<setnum;k++) { if(sameset[k] != sameset[k-1]) { sameset[tsetnum]=sameset[k]; tsetnum++; } } sum += getmin(sameset,tsetnum); } ans=min(ans,sum); } printf("%d\n",ans); //printf("cntcnt: %d\n",cntcnt); } return 0; }
zoj 3613
// // main.cpp // zoj3613 // // Created by 陈加寿 on 15/11/12. // Copyright (c) 2015年 陈加寿. All rights reserved. // #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <algorithm> using namespace std; #define N 202 #define INF 100000000 #define K 8 int R[5]; int F[5]; int palne[N]; int flagr[N]; int mat[N][N]; int cntr=0; int cntf=0; int maxnum=0; int micost=0; //SteinerTree 邻接矩阵模板。（稠密图）时间复杂度 O(N*2^K*(2^K+N)) int dp[(1<<K)+1][N]; int midp[(1<<K)+1]; int STV[N]; int SteinerTreeDP(int mat[N][N],int maxid,int *sameset,int size) { //mat为表示距离的邻接矩阵 //所有的标点从1到maxid //SteinerTree 所必须的点集为 sameset[0] 到 sameset[size-1] //函数放回最小Steiner Tree的值 for(int i=1;i<(1<<size);i++) for(int j=1;j<=maxid;j++) dp[i][j]=INF; for (int i=0; i<size; i++) { dp[(1<<i)][sameset[i]]=0; } for (int i=1;i<(1<<size);i++) { //step 1 for(int kk=1;kk<=maxid;kk++) { STV[kk]=0; for(int j = (i-1)&i ; j ;j = (j-1)&i) { dp[i][kk] = min(dp[i][kk],dp[j][kk]+dp[(~j)&i][kk]); } } //step 2 int kk,stmin=INF,stminid=0; for (int j = 0; stmin = INF, j < maxid; j++) { for (kk = 1; kk <= maxid; kk++) if (dp[i][kk] <= stmin && !STV[kk]) stmin = dp[i][stminid = kk]; for (STV[stminid]=1,kk = 1; kk <= maxid; kk++) if(STV[kk]==0) dp[i][kk] = min(dp[i][kk], dp[i][stminid] + mat[stminid][kk]); } } int tmin=INF; for(int j=1;j<=maxid;j++) tmin=min(tmin,dp[(1<<size)-1][j]); return tmin; } int check(int s) { int cnt=0; int i; for(i=0;i<cntf;i++) if( ((1<<i)&s)!=0 ) cnt += palne[ F[i] ]; for(int j=0;j<cntr;j++) if( ((1<<(cntf+j))&s) != 0 ) cnt --; if( cnt>=0 ) return 1; return 0; } int getwei(int s) { int cnt=0; for(int j=0;j<cntr;j++) { if( ((1<<(cntf+j))&s) != 0 ) cnt ++; } return cnt; } int main(int argc, const char * argv[]) { int n; while(scanf( "%d",&n )!=EOF) { maxnum=0; micost=0; cntr=0; cntf=0; int saveans=0; for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d",&palne[i],&flagr[i]); if(flagr[i]==1&&palne[i]!=0) { saveans++; flagr[i]=0; palne[i]--; //自厂自销 } if(flagr[i]==1) { R[cntr++]=i; } if(palne[i]!=0) { F[cntf++]=i; } } int m; scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) { if(i==j) mat[i][j]=0; else mat[i][j]=INF; } for(int i=0;i<m;i++) { int x,y,w; scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); mat[x][y]=mat[y][x]=min(mat[x][y],w); } int sameset[20]; int size=0; for(int i=0;i<cntf;i++) sameset[ size++ ] = F[i]; for(int i=0;i<cntr;i++) sameset[ size++ ] = R[i]; //等下在这里再写一个用连接表的。 SteinerTreeDP(mat, n, sameset, size); int mask=((1<<size)-1); for(int i=1;i<=mask;i++) { midp[i]=INF; for(int j=1;j<=n;j++) midp[i]=min(midp[i] , dp[i][j]); } //然后最后的一个DP for(int i=1;i<=mask;i++) { //第一开始要满足要求 if( check(i)==0 ) continue; for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i) { if( check(j)&&check(i-j) ) midp[i]=min(midp[i],midp[j]+midp[i-j]); } int tnum=getwei(i); if(tnum>=maxnum) { if(tnum>maxnum) { maxnum=tnum; micost=midp[i]; } else if(midp[i] < micost) { micost=midp[i]; } } } printf("%d %d\n",maxnum+saveans,micost); } return 0; }
hdu4085和zoj 3613很类似，记住最后再来个DP就可以省很多代码量。
